$\alpha = 5 + \sqrt{3}i$ とする。複素数平面上の 3 点 $0, \alpha, \beta$ を頂点とする三角形が正三角形であるとき、$\beta$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha = 5 + \sqrt{3}i$ とする。複素数平面上の 3 点 $0, \alpha, \beta$ を頂点とする三角形が正三角形であるとき、$\beta$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

正三角形となる条件は、$\alpha$ を中心に $\beta$ を $\pm \frac{\pi}{3}$ 回転させると $0$ になる、または $\beta$ を中心に $\alpha$ を $\pm \frac{\pi}{3}$ 回転させると $0$ になる、または $0$ を中心に $\alpha$ を $\pm \frac{\pi}{3}$ 回転させると $\beta$ になる、ということです。

複素数平面上の点 $z_1$ を点 $z_2$ を中心に $\theta$ 回転させる変換は $z_3 = (z_1 - z_2)e^{i\theta} + z_2$ で表されます。

今回は $0, \alpha, \beta$ が正三角形の頂点なので、$0$ を中心に $\alpha$ を $\pm \frac{\pi}{3}$ 回転させると $\beta$ になる場合を考えます。つまり、

$\beta = \alpha e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$

$\alpha = 5 + \sqrt{3}i$ なので、

$\beta = (5 + \sqrt{3}i)e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$

$e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$e^{-i\frac{\pi}{3}} = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$\beta = (5 + \sqrt{3}i)(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{2}i^2 = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i = 1 + 3\sqrt{3}i$

$\beta = (5 + \sqrt{3}i)(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{5}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{2}i^2 = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i = 4 - 2\sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

$\beta = 1 + 3\sqrt{3}i, 4 - 2\sqrt{3}i$