3つの不等式 $x + 2y - 8 \le 0$, $2x - y + 4 \ge 0$, $3x - 4y + 6 \le 0$ を満たすとき、$x + y$ の最大値および最小値を求めよ。

1. 問題の内容

3つの不等式 $x + 2y - 8 \le 0$, $2x - y + 4 \ge 0$, $3x - 4y + 6 \le 0$ を満たすとき、$x + y$ の最大値および最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

不等式1: $x + 2y - 8 \le 0$ より、 $x + 2y \le 8$

不等式2: $2x - y + 4 \ge 0$ より、 $2x - y \ge -4$

不等式3: $3x - 4y + 6 \le 0$ より、 $3x - 4y \le -6$

次に、$x+y = k$ とおき、$y = -x + k$ を各不等式に代入します。

1. $x + 2(-x + k) \le 8$

$x - 2x + 2k \le 8$

$-x \le 8 - 2k$

$x \ge 2k - 8$

2. $2x - (-x + k) \ge -4$

$2x + x - k \ge -4$

$3x \ge k - 4$

$x \ge \frac{k - 4}{3}$

3. $3x - 4(-x + k) \le -6$

$3x + 4x - 4k \le -6$

$7x \le 4k - 6$

$x \le \frac{4k - 6}{7}$

したがって、$2k - 8 \le x \le \frac{4k - 6}{7}$ かつ $\frac{k - 4}{3} \le x \le \frac{4k - 6}{7}$ である必要があります。

実数 $x$ が存在するためには、

$2k - 8 \le \frac{4k - 6}{7}$ かつ $\frac{k - 4}{3} \le \frac{4k - 6}{7}$ が必要です。

まず、$2k - 8 \le \frac{4k - 6}{7}$ を解きます。

$14k - 56 \le 4k - 6$

$10k \le 50$

$k \le 5$

次に、$\frac{k - 4}{3} \le \frac{4k - 6}{7}$ を解きます。

$7(k - 4) \le 3(4k - 6)$

$7k - 28 \le 12k - 18$

$-10 \le 5k$

$k \ge -2$

また、与えられた不等式を満たす領域の頂点を求めます。

不等式1と2の交点：$x + 2y = 8$ と $2x - y = -4$ を解く。

$x + 2y = 8$

$4x - 2y = -8$

2式を足すと $5x = 0$ より $x = 0$。$y = 4$。$(0, 4)$

このとき、$x+y = 4$。

不等式2と3の交点：$2x - y = -4$ と $3x - 4y = -6$ を解く。

$8x - 4y = -16$

$3x - 4y = -6$

2式を引くと $5x = -10$ より $x = -2$。$y = -4 + 2(-2) = -4 - 4 = -8$。 $(-2, -8)$

このとき、$x+y = -10$。

不等式1と3の交点：$x + 2y = 8$ と $3x - 4y = -6$ を解く。

$2x + 4y = 16$

$3x - 4y = -6$

2式を足すと $5x = 10$ より $x = 2$。$y = \frac{8-2}{2} = 3$。 $(2, 3)$

このとき、$x+y = 5$。

したがって、最大値は5, 最小値は-10。

3. 最終的な答え

最大値：5

最小値：-10