$z = \cos\frac{2}{7}\pi + i\sin\frac{2}{7}\pi$ が与えられたとき、以下の2つの値を求めます。 (1) $z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z$ (2) $\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z}$

1. 問題の内容

$z = \cos\frac{2}{7}\pi + i\sin\frac{2}{7}\pi$ が与えられたとき、以下の2つの値を求めます。

(1) $z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z$

(2) $\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z}$

2. 解き方の手順

(1) について

$z = \cos\frac{2}{7}\pi + i\sin\frac{2}{7}\pi$ より、$z^7 = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1$ が成り立ちます。

したがって、$z^7 - 1 = 0$ です。

$z^7 - 1 = (z-1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0$

ここで、$z \ne 1$ なので、$z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ が成り立ちます。

よって、$z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z = -1$ となります。

(2) について

$\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z}$ を計算します。

通分すると、

$\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z} = \frac{(1-z) + (1-z^6)}{(1-z^6)(1-z)} = \frac{2 - z - z^6}{1 - z - z^6 + z^7}$

$z^7 = 1$ より、

$\frac{2 - z - z^6}{1 - z - z^6 + 1} = \frac{2 - z - z^6}{2 - z - z^6} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $-1$

(2) $1$