$a_n = (\frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i)^{2n}$ が実数となる最小の自然数 $n$ を求め、そのときの $a_n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a_n = (\frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i)^{2n}$ が実数となる最小の自然数 $n$ を求め、そのときの $a_n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

複素数 $z = \frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i$ を極形式で表すことを試みます。

まず、$z$ の絶対値 $|z|$ を計算します。

$|z| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3+2\sqrt{3}+1}{4} + \frac{3-2\sqrt{3}+1}{4}} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$

次に、$z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ と表すと、

$\cos{\theta} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\sin{\theta} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

三角関数の加法定理より

$\cos{(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})} = \cos{\frac{\pi}{4}}\cos{\frac{\pi}{6}} + \sin{\frac{\pi}{4}}\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\sin{(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})} = \sin{\frac{\pi}{4}}\cos{\frac{\pi}{6}} - \cos{\frac{\pi}{4}}\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi-2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

したがって、$z = \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{12}} + i\sin{\frac{\pi}{12}})$

$a_n = z^{2n} = (\sqrt{2})^{2n} (\cos{\frac{\pi}{12}} + i\sin{\frac{\pi}{12}})^{2n} = 2^n (\cos{\frac{2n\pi}{12}} + i\sin{\frac{2n\pi}{12}}) = 2^n (\cos{\frac{n\pi}{6}} + i\sin{\frac{n\pi}{6}})$

$a_n$ が実数になるためには、$\sin{\frac{n\pi}{6}} = 0$ となればよい。

つまり、$\frac{n\pi}{6} = k\pi$ (k は整数)

よって、$n = 6k$

$n$ が最小の自然数であるとき、$k=1$ であり、$n=6$。

$a_6 = 2^6 (\cos{\frac{6\pi}{6}} + i\sin{\frac{6\pi}{6}}) = 2^6 (\cos{\pi} + i\sin{\pi}) = 64(-1 + 0) = -64$

3. 最終的な答え

$a_n = -64$