$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1-2i$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求め、また他の解を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1-2i$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求め、また他の解を求める。

2. 解き方の手順

$a, b$ は実数なので、$1-2i$ が解ならば、共役複素数である $1+2i$ も解である。

3次方程式なので、残りの解を $\alpha$ とすると、解と係数の関係より、

$$(1-2i) + (1+2i) + \alpha = 1$$

$$(1-2i)(1+2i) + (1-2i)\alpha + (1+2i)\alpha = a$$

$$(1-2i)(1+2i)\alpha = -b$$

1つ目の式より、

$2 + \alpha = 1$

$\alpha = -1$

2つ目の式より、

$(1 - (2i)^2) + \alpha - 2i\alpha + \alpha + 2i\alpha = a$

$(1 - (-4)) + 2\alpha = a$

$5 + 2\alpha = a$

$5 + 2(-1) = a$

$a = 3$

3つ目の式より、

$(1 - (2i)^2)\alpha = -b$

$(1 - (-4))\alpha = -b$

$5\alpha = -b$

$5(-1) = -b$

$b = 5$

よって、$a = 3, b = 5$

他の解は、$1+2i$ と $-1$ である。

3. 最終的な答え

$a=3, b=5$, 他の解は $1+2i, -1$