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与えられた式 $\frac{a}{x(a-x)} + \frac{x}{a(x-a)}$ を簡略化します。

代数学式の簡略化分数式因数分解
2025/6/16

1. 問題の内容

与えられた式 ax(a−x)+xa(x−a)\frac{a}{x(a-x)} + \frac{x}{a(x-a)} を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、共通分母を見つけます。x−a=−(a−x)x-a = -(a-x) であることに注意すると、
ax(a−x)+xa(x−a)=ax(a−x)−xa(a−x)\frac{a}{x(a-x)} + \frac{x}{a(x-a)} = \frac{a}{x(a-x)} - \frac{x}{a(a-x)}
と書き換えることができます。共通分母は ax(a−x)ax(a-x) となります。
したがって、
ax(a−x)−xa(a−x)=a2ax(a−x)−x2ax(a−x)=a2−x2ax(a−x)\frac{a}{x(a-x)} - \frac{x}{a(a-x)} = \frac{a^2}{ax(a-x)} - \frac{x^2}{ax(a-x)} = \frac{a^2 - x^2}{ax(a-x)}
となります。
分子を因数分解すると、
a2−x2=(a−x)(a+x)a^2 - x^2 = (a-x)(a+x)
したがって、
a2−x2ax(a−x)=(a−x)(a+x)ax(a−x)\frac{a^2 - x^2}{ax(a-x)} = \frac{(a-x)(a+x)}{ax(a-x)}
となります。a−xa-x で約分すると、
(a−x)(a+x)ax(a−x)=a+xax\frac{(a-x)(a+x)}{ax(a-x)} = \frac{a+x}{ax}
となります。

3. 最終的な答え

a+xax\frac{a+x}{ax}

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