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与えられた分数の分母を有理化する問題です。 与えられた分数は $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ です。

代数学分母の有理化平方根式の計算
2025/6/16

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。
与えられた分数は 15+2\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 5−2\sqrt{5} - \sqrt{2} を分子と分母に掛けます。
15+2=15+2⋅5−25−2\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}
分子は 5−2\sqrt{5} - \sqrt{2} になります。分母は (5+2)(5−2)(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) になります。これは (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 の形なので、
(5+2)(5−2)=(5)2−(2)2=5−2=3(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3
したがって、
15+2=5−23\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}

3. 最終的な答え

5−23\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}

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