関数 $f(x) = -4(\log_4 x)^2 + 4\log_2 x^2 - 12$ について、以下の問いに答えます。 (1) $t = \log_2 x$ とするとき、$f(x)$ を $t$ の式で表してください。 (2) $f(x)$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めてください。 (3) 方程式 $f(x) = 0$ の解を求めてください。 (4) 不等式 $f(x) \leq 0$ の解を求めてください。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -4(\log_4 x)^2 + 4\log_2 x^2 - 12$ について、以下の問いに答えます。

(1) $t = \log_2 x$ とするとき、$f(x)$ を $t$ の式で表してください。

(2) $f(x)$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めてください。

(3) 方程式 $f(x) = 0$ の解を求めてください。

(4) 不等式 $f(x) \leq 0$ の解を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) $t = \log_2 x$ とします。まず、$\log_4 x$ を $\log_2 x$ で表します。

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} = \frac{t}{2}$

また、$\log_2 x^2 = 2\log_2 x = 2t$

したがって、$f(x)$ を $t$ の式で表すと、

$f(x) = -4(\frac{t}{2})^2 + 4(2t) - 12 = -4(\frac{t^2}{4}) + 8t - 12 = -t^2 + 8t - 12$

(2) $f(x) = -t^2 + 8t - 12$ を平方完成します。

$f(x) = -(t^2 - 8t) - 12 = -(t^2 - 8t + 16 - 16) - 12 = -(t-4)^2 + 16 - 12 = -(t-4)^2 + 4$

$f(x)$ は $t = 4$ のとき最大値 $4$ をとります。

$t = \log_2 x = 4$ より、$x = 2^4 = 16$

したがって、$f(x)$ の最大値は $4$ で、そのときの $x$ の値は $16$ です。

(3) 方程式 $f(x) = 0$ を解きます。

$-t^2 + 8t - 12 = 0$

$t^2 - 8t + 12 = 0$

$(t-2)(t-6) = 0$

$t = 2, 6$

$t = \log_2 x = 2$ より、$x = 2^2 = 4$

$t = \log_2 x = 6$ より、$x = 2^6 = 64$

したがって、方程式 $f(x) = 0$ の解は $x = 4, 64$ です。

(4) 不等式 $f(x) \leq 0$ を解きます。

$-t^2 + 8t - 12 \leq 0$

$t^2 - 8t + 12 \geq 0$

$(t-2)(t-6) \geq 0$

$t \leq 2$ または $t \geq 6$

$t = \log_2 x \leq 2$ より、$x \leq 2^2 = 4$

$t = \log_2 x \geq 6$ より、$x \geq 2^6 = 64$

真数条件より、$x>0$なので、

したがって、不等式 $f(x) \leq 0$ の解は $0 < x \leq 4$ または $x \geq 64$ です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = -t^2 + 8t - 12$

(2) 最大値 $4$, $x = 16$

(3) $x = 4, 64$

(4) $0 < x \leq 4$ または $x \geq 64$