関数 $f(x) = -4(\log_4 x)^2 + 4\log_2 x^2 - 12$ について、以下の問題を解く。 (1) $t = \log_2 x$ とするとき、$f(x)$ を $t$ の式で表せ。 (2) $f(x)$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。 (3) 方程式 $f(x) = 0$ の解を求めよ。 (4) 不等式 $f(x) \le 0$ の解を求めよ。 ここでは(2)のみを解く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -4(\log_4 x)^2 + 4\log_2 x^2 - 12$ について、以下の問題を解く。

(1) $t = \log_2 x$ とするとき、$f(x)$ を $t$ の式で表せ。

(2) $f(x)$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

(3) 方程式 $f(x) = 0$ の解を求めよ。

(4) 不等式 $f(x) \le 0$ の解を求めよ。

ここでは(2)のみを解く。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を $t$ の式で表す。

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} = \frac{t}{2}$

$\log_2 x^2 = 2\log_2 x = 2t$

よって、

$f(x) = -4(\frac{t}{2})^2 + 4(2t) - 12 = -4(\frac{t^2}{4}) + 8t - 12 = -t^2 + 8t - 12$

次に、$f(x) = -t^2 + 8t - 12$ を平方完成する。

$f(x) = -(t^2 - 8t) - 12 = -(t^2 - 8t + 16 - 16) - 12 = -(t - 4)^2 + 16 - 12 = -(t - 4)^2 + 4$

したがって、$f(x)$ は $t = 4$ のとき最大値 $4$ をとる。

$t = \log_2 x = 4$ より、$x = 2^4 = 16$

3. 最終的な答え

$f(x)$ の最大値は $4$ であり、そのときの $x$ の値は $16$ である。