1. (1) 4x4行列の行列式を計算する。 $ \begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} $ (2) 4x4行列の行列式を計算する。 $ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

1. (1) 4x4行列の行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

(2) 4x4行列の行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

2. 4x4行列式を因数分解する。

$\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

3. (1)

第1行に第3行の-5倍を加える: (1) + (3) * (-5)

第2行に第3行の3倍を加える: (2) + (3) * 3

第4行に第3行の-2倍を加える: (4) + (3) * (-2)

$\begin{vmatrix} 0 & -7 & -1 & -31 \\ 0 & 1 & -2 & 11 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}$

第1列について展開する。

$1 \cdot \begin{vmatrix} -7 & -1 & -31 \\ 1 & -2 & 11 \\ -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}$

第1行に第2行の7倍を加える: (1) + (2) * 7

第3行に第2行を加える: (3) + (2)

$\begin{vmatrix} 0 & -15 & 46 \\ 1 & -2 & 11 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}$

第1列について展開する。

$1 \cdot \begin{vmatrix} -15 & 46 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -15 \cdot 2 - (-1) \cdot 46 = -30 + 46 = 16$

したがって、行列式は16である。

4. (2)

第1行に第4行の-2倍を加える: (1) + (4) * (-2)

第2行に第4行の-3倍を加える: (2) + (4) * (-3)

第3行に第4行の2倍を加える: (3) + (4) * 2

$\begin{vmatrix} 0 & -15 & -6 & 3 \\ 0 & -18 & -2 & 6 \\ 0 & 9 & -2 & -5 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

第1列について展開する。

$1 \cdot \begin{vmatrix} -15 & -6 & 3 \\ -18 & -2 & 6 \\ 9 & -2 & -5 \end{vmatrix}$

第1行から3をくくり出す。

第2行から2をくくり出す。

$3 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} -5 & -2 & 1 \\ -9 & -1 & 3 \\ 9 & -2 & -5 \end{vmatrix}$

第2行に第1行の-3倍を加える: (2) + (1) * (-3)

第3行に第1行の5倍を加える: (3) + (1) * 5

$6 \cdot \begin{vmatrix} -5 & -2 & 1 \\ 6 & 5 & 0 \\ -16 & -12 & 0 \end{vmatrix}$

第3列について展開する。

$6 \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 5 \\ -16 & -12 \end{vmatrix} = 6 \cdot (6 \cdot (-12) - 5 \cdot (-16)) = 6 \cdot (-72 + 80) = 6 \cdot 8 = 48$

したがって、行列式は48である。

5. 行列式を因数分解する。

第1列に第3列の-1倍を加える: (1) + (3) * (-1)

$\begin{vmatrix} 0 & y & x & x \\ x-y & y & y & y \\ y-x & y & y & x \\ x-y & x & y & x \end{vmatrix}$

第1行に第2行を加える: (1) + (2)

$\begin{vmatrix} x-y & 2y & 2x & 2x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$

第1列を固定して他を操作しても、うまく因数分解できない。

まず行に関して操作する。

1行目に2行目を引く: (1) - (2)

2行目に3行目を引く: (2) - (3)

4行目に3行目を引く: (4) - (3)

$\begin{vmatrix} x-x & y-y & x-y & x-y \\ x-y & y-y & y-y & y-x \\ y & y & y & x \\ x-y & x-y & 0 & x-x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & x-y & x-y \\ x-y & 0 & 0 & y-x \\ y & y & y & x \\ x-y & x-y & 0 & 0 \end{vmatrix}$

6. 最終的な答え

7. (1) 16

8. (2) 48

9. 行列式 $ \begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix} $ の因数分解: $(x-y)^3(x+3y)$

計算過程は省略します。