問題は、2次方程式を解く問題(16)と、2次不等式を解く問題(17)です。それぞれ(1)から(6)までの問題があります。

1. 問題の内容

問題は、2次方程式を解く問題(16)と、2次不等式を解く問題(17)です。それぞれ(1)から(6)までの問題があります。

2. 解き方の手順

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6. 2次方程式を解く

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて求めます。

(1) $2x^2 + 7x - 4 = 0$

$a=2$, $b=7$, $c=-4$ を解の公式に代入します。

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-7 \pm 9}{4}$

よって、$x = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ または $x = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

(2) $3x^2 + x - 4 = 0$

$a=3$, $b=1$, $c=-4$ を解の公式に代入します。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{-1 \pm 7}{6}$

よって、$x = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$ または $x = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

(3) $4x^2 + 5x - 1 = 0$

$a=4$, $b=5$, $c=-1$ を解の公式に代入します。

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 16}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{8}$

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7. 2次不等式を解く

(1) $x^2 + x - 6 > 0$

$(x+3)(x-2) > 0$

$x < -3$ または $x > 2$

(2) $x^2 - 3x - 10 < 0$

$(x-5)(x+2) < 0$

$-2 < x < 5$

(3) $2x^2 + 7x - 4 \geq 0$

$(2x-1)(x+4) \geq 0$

$x \leq -4$ または $x \geq \frac{1}{2}$

(4) $3x^2 + x - 4 \leq 0$

$(3x+4)(x-1) \leq 0$

$-\frac{4}{3} \leq x \leq 1$

(5) $2x^2 + 3x + 2 \geq 0$

判別式 $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7 < 0$ であるから、常に $2x^2 + 3x + 2 > 0$ となる。

よって、すべての実数 $x$ で成り立つ。

(6) $2x^2 + 5x + 1 < 0$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}$

$\frac{-5 - \sqrt{17}}{4} < x < \frac{-5 + \sqrt{17}}{4}$

3. 最終的な答え

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6. (1) $x = \frac{1}{2}, -4$

(2) $x = 1, -\frac{4}{3}$

(3) $x = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{8}$

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7. (1) $x < -3$ または $x > 2$

(2) $-2 < x < 5$

(3) $x \leq -4$ または $x \geq \frac{1}{2}$

(4) $-\frac{4}{3} \leq x \leq 1$

(5) すべての実数

(6) $\frac{-5 - \sqrt{17}}{4} < x < \frac{-5 + \sqrt{17}}{4}$