花火職人の福田先生が打ち上げる花火の軌道が放物線となる。川岸の高さ2mの地点から打ち上げられ、高さ50mの頂点に達し、川岸から4m離れた地点で破裂する。この放物線の式を求め、頂点、軸、形状を答える。

1. 問題の内容

花火職人の福田先生が打ち上げる花火の軌道が放物線となる。川岸の高さ2mの地点から打ち上げられ、高さ50mの頂点に達し、川岸から4m離れた地点で破裂する。この放物線の式を求め、頂点、軸、形状を答える。

2. 解き方の手順

問1）置かれている状況を絵に描いてみましょう。

絵は省略しますが、x軸を川岸の地面、y軸を垂直方向とすると、花火は(0, 2)から打ち上げられ、(4, 0)を通る放物線を描き、頂点のy座標が50となる状況です。

問2）求める放物線の頂点、軸、形状（上に凸or下に凸）を答えましょう。

頂点は問題文に書いてあるように高さ50mに達する点です。放物線は左右対称なので、頂点のx座標は、打ち上げ地点x=0と破裂地点x=4の中点です。よって、頂点のx座標は(0+4)/2 = 2 となります。したがって、頂点は (2, 50) です。

軸は頂点を通る垂直な直線なので、$x = 2$ です。

花火は上に打ち上げられ、放物線を描いて落下するので、上に凸の形状となります。

問3）求める放物線は $y = a(x - p)^2 + q$ と表せます。このことと問2を利用して放物線の式を求めましょう。

頂点が (2, 50) であることから、$p = 2$、$q = 50$ となります。したがって、放物線の式は

$y = a(x - 2)^2 + 50$

と表せます。

この放物線は点(0, 2)を通るので、この座標を代入すると、

$2 = a(0 - 2)^2 + 50$

$2 = 4a + 50$

$4a = -48$

$a = -12$

したがって、放物線の式は

$y = -12(x - 2)^2 + 50$

展開すると、

$y = -12(x^2 - 4x + 4) + 50$

$y = -12x^2 + 48x - 48 + 50$

$y = -12x^2 + 48x + 2$

問4）どんな形の花火を打ち上げてほしいか、または福田先生へのメッセージを書きましょう。

メッセージ：福田先生、いつも素晴らしい花火をありがとうございます！次はハート型の花火が見たいです！

3. 最終的な答え

* 頂点: (2, 50)

* 軸: $x = 2$

* 形状: 上に凸

* 放物線の式: $y = -12(x - 2)^2 + 50$ または $y = -12x^2 + 48x + 2$