与えられた行列に関する方程式 $X \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ を満たす行列 $X$ と $Y$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列に関する方程式 $X \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ を満たす行列 $X$ と $Y$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$ を求める。

与えられた方程式は $X \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ である。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ とすると、$\det(A) = (1)(1) - (3)(-2) = 1 + 6 = 7$ である。

よって、$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ である。

両辺に右から $A^{-1}$ をかけると、

$X \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}^{-1}$

$X = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 2-2 & -6-1 \\ 3+8 & -9+4 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 0 & -7 \\ 11 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \frac{11}{7} & -\frac{5}{7} \end{pmatrix}$

次に、$Y$ を求める。

与えられた方程式は $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ である。

両辺に左から $A^{-1}$ をかけると、

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} Y = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

$Y = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 2-9 & -1-12 \\ 4+3 & -2+4 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -7 & -13 \\ 7 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{13}{7} \\ 1 & \frac{2}{7} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \frac{11}{7} & -\frac{5}{7} \end{pmatrix}$

$Y = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{13}{7} \\ 1 & \frac{2}{7} \end{pmatrix}$