花火職人の福田先生が打ち上げる花火の軌道を2次関数で表す問題です。花火は川岸の地面から2mの高台から打ち上げられ、放物線を描きながら高さ50mの頂点に達し、川岸から4m離れた場所で破裂します。川岸からの水平方向の長さを $x$ m、地面からの高さを $y$ mとして、放物線の式を求める手順が示されています。

1. 問題の内容

花火職人の福田先生が打ち上げる花火の軌道を2次関数で表す問題です。花火は川岸の地面から2mの高台から打ち上げられ、放物線を描きながら高さ50mの頂点に達し、川岸から4m離れた場所で破裂します。川岸からの水平方向の長さを $x$ m、地面からの高さを $y$ mとして、放物線の式を求める手順が示されています。

2. 解き方の手順

問1）状況の絵を描く（省略）。

問2）放物線の頂点、軸、形状を答えます。

* 頂点：花火が最も高い地点なので、座標は $(p, q) = (2, 50)$ です。

（川岸から水平方向に2mの地点で高さ50mになるため）

* 軸：頂点を通る鉛直線なので、$x = 2$ です。

* 形状：上に凸です。

問3）放物線の式 $y = a(x - p)^2 + q$ を求めます。

* 頂点の座標 $(2, 50)$ を代入して、$y = a(x - 2)^2 + 50$ となります。

* 花火は川岸から打ち上げられるので、$x = 0$ のとき $y = 2$ となります。

（2mの高台から打ち上げられるため）

* この点を代入して、$2 = a(0 - 2)^2 + 50$ となります。

* これを解いて $2 = 4a + 50$ より、$4a = -48$、$a = -12$ となります。

* したがって、放物線の式は $y = -12(x - 2)^2 + 50$ となります。

* 確認：花火は川岸から4m離れた地点で破裂するので、$x = 4$ のとき $y = 2$ となるはずです。

$y = -12(4 - 2)^2 + 50 = -12(2)^2 + 50 = -12(4) + 50 = -48 + 50 = 2$ となり、確かに成り立ちます。

3. 最終的な答え

放物線の式は $y = -12(x - 2)^2 + 50$ です。