$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める。 (1) $a$, $b$ の値 (2) $b+\frac{1}{b}$, $b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める。

(1) $a$, $b$ の値

(2) $b+\frac{1}{b}$, $b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、

$4 < \sqrt{5}+2 < 5$ となる。

よって、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数部分は $a=4$ である。

また、小数部分は $b = (\sqrt{5}+2) - a = (\sqrt{5}+2) - 4 = \sqrt{5}-2$ である。

(2)

$b + \frac{1}{b} = (\sqrt{5}-2) + \frac{1}{\sqrt{5}-2} = (\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2) = 2\sqrt{5}$

次に、$b^2 + \frac{1}{b^2}$ を計算する。

$(b + \frac{1}{b})^2 = b^2 + 2 + \frac{1}{b^2}$ より、

$b^2 + \frac{1}{b^2} = (b + \frac{1}{b})^2 - 2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 4 \cdot 5 - 2 = 20 - 2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$, $b = \sqrt{5} - 2$

(2) $b+\frac{1}{b} = 2\sqrt{5}$, $b^2 + \frac{1}{b^2} = 18$