$a = 18^{50}$とする。 (1) $\log_{10}\sqrt{18}$ と $\log_{10}5$ の値を求めよ。ただし、$\log_{10}2=0.3010$、$\log_{10}3=0.4771$とする。 (2) $a$の桁数と$a$の最高位の数字を求めよ。 (3) $a$を5進法で表したときの桁数と最高位の数字を求めよ。

1. 問題の内容

$a = 18^{50}$とする。

(1) $\log_{10}\sqrt{18}$ と $\log_{10}5$ の値を求めよ。ただし、$\log_{10}2=0.3010$、$\log_{10}3=0.4771$とする。

(2) $a$の桁数と$a$の最高位の数字を求めよ。

(3) $a$を5進法で表したときの桁数と最高位の数字を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\log_{10}\sqrt{18} = \log_{10}(18^{1/2}) = \frac{1}{2}\log_{10}18 = \frac{1}{2}\log_{10}(2 \cdot 3^2) = \frac{1}{2}(\log_{10}2 + 2\log_{10}3) = \frac{1}{2}(0.3010 + 2 \cdot 0.4771) = \frac{1}{2}(0.3010 + 0.9542) = \frac{1}{2}(1.2552) = 0.6276$

$\log_{10}5 = \log_{10}(\frac{10}{2}) = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

(2)

$a = 18^{50}$の桁数を求める。

$\log_{10} a = \log_{10} 18^{50} = 50\log_{10}18 = 50\log_{10}(2 \cdot 3^2) = 50(\log_{10}2 + 2\log_{10}3) = 50(0.3010 + 2 \cdot 0.4771) = 50(0.3010 + 0.9542) = 50(1.2552) = 62.76$

よって、$a$の桁数は$62+1 = 63$桁である。

$a$の最高位の数字を求める。

$\log_{10} a = 62.76 = 62 + 0.76$

$0.76 = \log_{10}x$となる$x$を求める。

$\log_{10}5 = 0.6990$

$\log_{10}6 = \log_{10}(2 \cdot 3) = \log_{10}2 + \log_{10}3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

$\log_{10}5 < 0.76 < \log_{10}6$なので、最高位の数字は5である。

(3)

$a = 18^{50}$を5進法で表したときの桁数を求める。

$\log_5 a = \log_5 18^{50} = 50 \log_5 18 = 50 \frac{\log_{10} 18}{\log_{10} 5} = 50 \frac{\log_{10}(2 \cdot 3^2)}{\log_{10} 5} = 50 \frac{\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3}{\log_{10} 5} = 50 \frac{0.3010 + 2 \cdot 0.4771}{0.6990} = 50 \frac{1.2552}{0.6990} = 50 \cdot 1.7957 = 89.785$

よって、5進法で表したときの桁数は$89+1 = 90$桁である。

最高位の数字を求める。

$\log_5 a = 89.785 = 89 + 0.785$

$0.785 = \log_5 x$となる$x$を求める。

$\log_5 x = 0.785$

$x = 5^{0.785}$

$\log_{10} x = 0.785 \log_{10} 5 = 0.785 \cdot 0.6990 = 0.548715$

$x = 10^{0.548715}$

$\log_{10}3 = 0.4771$

$\log_{10}4 = 2\log_{10}2 = 0.6020$

$\log_{10}3 < 0.548715 < \log_{10}4$

したがって、$3 < x < 4$なので、5進法での最高位の数字は3である。

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10}\sqrt{18} = 0.6276$, $\log_{10}5 = 0.6990$

(2) 桁数: 63桁, 最高位の数字: 5

(3) 桁数: 90桁, 最高位の数字: 3