与えられた5つの2次方程式について、指定された条件（実数解を持つ、重解を持つ、異なる二つの実数解を持つ）を満たすような $m$ の値または範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた5つの2次方程式について、指定された条件（実数解を持つ、重解を持つ、異なる二つの実数解を持つ）を満たすような $m$ の値または範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $2x^2 + x + m = 0$ が実数解を持つ条件

2次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D \geq 0$ である必要がある。

$D = 1^2 - 4(2)(m) = 1 - 8m \geq 0$

$8m \leq 1$

$m \leq \frac{1}{8}$

(2) 2次方程式 $x^2 + mx + m + 2 = 0$ が重解を持つ条件

2次方程式が重解を持つためには、判別式 $D = 0$ である必要がある。

$D = m^2 - 4(1)(m+2) = m^2 - 4m - 8 = 0$

$m = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(-8)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$

(3) 2次方程式 $2x^2 + mx + 2m - 1 = 0$ が実数解を持つ条件

2次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D \geq 0$ である必要がある。

$D = m^2 - 4(2)(2m - 1) = m^2 - 16m + 8 \geq 0$

$m = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{224}}{2} = \frac{16 \pm 4\sqrt{14}}{2} = 8 \pm 2\sqrt{14}$

$m \leq 8 - 2\sqrt{14}, \ m \geq 8 + 2\sqrt{14}$

(4) 2次方程式 $x^2 + 3mx + 2m^2 + m - 1 = 0$ が異なる二つの実数解を持つ条件

2次方程式が異なる二つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ である必要がある。

$D = (3m)^2 - 4(1)(2m^2 + m - 1) = 9m^2 - 8m^2 - 4m + 4 = m^2 - 4m + 4 > 0$

$(m-2)^2 > 0$

$m \neq 2$

(5) 2次方程式 $x^2 + 3mx + m^2 + 3m - 1 = 0$ が重解を持つ条件

2次方程式が重解を持つためには、判別式 $D = 0$ である必要がある。

$D = (3m)^2 - 4(1)(m^2 + 3m - 1) = 9m^2 - 4m^2 - 12m + 4 = 5m^2 - 12m + 4 = 0$

$m = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{10} = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{10} = \frac{12 \pm 8}{10}$

$m = \frac{20}{10} = 2, \ m = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $m \leq \frac{1}{8}$

(2) $m = 2 \pm 2\sqrt{3}$

(3) $m \leq 8 - 2\sqrt{14}, \ m \geq 8 + 2\sqrt{14}$

(4) $m \neq 2$

(5) $m = 2, \ \frac{2}{5}$