関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ が、$-2 \leq x \leq 1$ の範囲で最大値7を取るように、定数 $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ が、$-2 \leq x \leq 1$ の範囲で最大値7を取るように、定数 $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4x + c$

$y = 2(x^2 + 2x) + c$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + c$

$y = 2((x + 1)^2 - 1) + c$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 + c$

したがって、頂点の座標は $(-1, -2 + c)$ です。

次に、定義域 $-2 \leq x \leq 1$ における関数の最大値を考えます。

この2次関数は $x = -1$ を軸とする下に凸の放物線なので、定義域の端点のうち、軸から最も遠い点で最大値を取ります。

$x = -2$ のとき、$y = 2(-2 + 1)^2 - 2 + c = 2(1) - 2 + c = c$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1 + 1)^2 - 2 + c = 2(4) - 2 + c = 6 + c$

$x=1$の方が軸から遠いので、$x = 1$ で最大値を取ります。

したがって、$6 + c = 7$ となるので、$c = 1$。

定義域に軸が含まれているので、最大値は $x=1$ で取るか、$x=-2$で取るかのどちらかです。$x=1$を代入すると $y=2(1)^2+4(1)+c=6+c=7$なので、$c=1$となります。

$x=-2$を代入すると$y=2(-2)^2+4(-2)+c=0+c=7$となるので、$c=7$となります。

頂点の$x$座標は$-1$で$-2 \le x \le 1$に含まれます。

頂点の$y$座標は$-2+c$

$x=1$のとき、$y=2(1)^2+4(1)+c=6+c$

$x=-2$のとき、$y=2(-2)^2+4(-2)+c=c$

したがって$y=6+c$が最大値を取る。

$6+c=7$

$c=1$

3. 最終的な答え

c = 1