$y = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1$

## (1)の問題

関数 $y = x^2 - 4x + 3$ (定義域 $0 \le x \le a$) の最小値と、そのときの $x$ の値を求める。ただし、$a$ は正の定数とする。

## 解き方の手順

1. **平方完成**：まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1$

2. **グラフの軸**：このグラフの軸は $x = 2$ である。グラフは下に凸な放物線である。

3. **場合分け**：定義域 $0 \le x \le a$ と軸 $x = 2$ の位置関係によって場合分けして考える。

* **場合1：$0 < a \le 2$ のとき**

このとき、軸 $x = 2$ は定義域の右外にあるか、または定義域の右端である。よって、定義域内で $x$ が $2$ に最も近いのは $x = a$ のときであるから、定義域の左端 $x = 0$ で最大値を取り、$x = a$ のとき最小値をとる。

最小値は $x = a$ のとき $y = (a - 2)^2 - 1 = a^2 - 4a + 3$ であり、$x = a$。

* **場合2：$a > 2$ のとき**

このとき、軸 $x = 2$ が定義域内にある。よって、頂点で最小値を取る。

最小値は $x = 2$ のとき $y = -1$ であり、$x = 2$。

## 最終的な答え

* $0 < a \le 2$ のとき：最小値 $a^2 - 4a + 3$ ($x = a$)

* $a > 2$ のとき：最小値 $-1$ ($x = 2$)

## (2)の問題

関数 $y = x^2 - 4ax + 3$ (定義域 $0 \le x \le 4$) の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。ただし、$a$ は定数で、$0 < a < 1$ とする。

## 解き方の手順

1. **平方完成**：まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4ax + 3 = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 3$

2. **グラフの軸**：このグラフの軸は $x = 2a$ である。グラフは下に凸な放物線である。

3. **軸の位置**：$0 < a < 1$ より、$0 < 2a < 2$ である。つまり、軸 $x = 2a$ は定義域 $0 \le x \le 4$ の範囲内にある。

4. **最小値**：軸が定義域内にあるので、最小値は頂点で取る。

最小値は $x = 2a$ のとき $y = -4a^2 + 3$ である。

5. **最大値**：定義域の両端 $x = 0$ と $x = 4$ での $y$ の値を比較する。

$x = 0$ のとき、$y = 3$

$x = 4$ のとき、$y = 4^2 - 4a(4) + 3 = 16 - 16a + 3 = 19 - 16a$

$3$ と $19 - 16a$ の大小を比較する。

$19 - 16a - 3 = 16 - 16a = 16(1 - a)$

$0 < a < 1$ なので、$1 - a > 0$。したがって、$16(1 - a) > 0$ であり、$19 - 16a > 3$。

よって、最大値は $x = 4$ のとき $y = 19 - 16a$ である。

## 最終的な答え

* 最小値： $-4a^2 + 3$ ($x = 2a$)

* 最大値： $19 - 16a$ ($x = 4$)