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与えられた式から、$S$を求める問題です。具体的には、以下の式が与えられています。 $(1-x)S = 1 + \frac{3x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n$ この式を変形して、 $(1-x)S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$ そして、$S$について解くと、 $S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

代数学式の変形数式処理級数
2025/6/16

1. 問題の内容

与えられた式から、SSを求める問題です。具体的には、以下の式が与えられています。
(1−x)S=1+3x(1−xn−1)1−x−(3n−2)xn(1-x)S = 1 + \frac{3x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n
この式を変形して、
(1−x)S=1+2x−(3n+1)xn+(3n−2)xn+11−x(1-x)S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}
そして、SSについて解くと、
S=1+2x−(3n+1)xn+(3n−2)xn+1(1−x)2S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}

2. 解き方の手順

まず、最初の式 (1−x)S=1+3x(1−xn−1)1−x−(3n−2)xn(1-x)S = 1 + \frac{3x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n を変形して、(1−x)S=1+2x−(3n+1)xn+(3n−2)xn+11−x(1-x)S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x} となることを確認します。
最初の式から、両辺に(1−x)(1-x)を掛けます。
(1−x)2S=(1−x)+3x(1−xn−1)−(3n−2)xn(1−x)(1-x)^2S = (1-x) + 3x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^n(1-x)
=1−x+3x−3xn−(3n−2)xn+(3n−2)xn+1= 1 - x + 3x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}
=1+2x−3xn−(3n−2)xn+(3n−2)xn+1= 1 + 2x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}
=1+2x−(3+3n−2)xn+(3n−2)xn+1= 1 + 2x - (3 + 3n - 2)x^n + (3n-2)x^{n+1}
=1+2x−(3n+1)xn+(3n−2)xn+1= 1 + 2x - (3n + 1)x^n + (3n-2)x^{n+1}
よって、
(1−x)2S=1+2x−(3n+1)xn+(3n−2)xn+1(1-x)^2 S = 1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}
したがって、SSは
S=1+2x−(3n+1)xn+(3n−2)xn+1(1−x)2S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}

3. 最終的な答え

S=1+2x−(3n+1)xn+(3n−2)xn+1(1−x)2S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}

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