与えられた2次関数 $y = x^2 - 6x + 7$ に関して、以下の問いに答えます。 (1) グラフが上に凸か下に凸か。 (2) グラフの軸と頂点を求め、グラフを描く。（y軸との交点を記入） (3) 定義域 $-1 \le x \le 4$ におけるyの最大値と最小値を求める。 (4) 定義域 $0 \le x \le a$ において、$x=0$ でyが最大となるような定数 a の範囲を求める。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = x^2 - 6x + 7$ に関して、以下の問いに答えます。

(1) グラフが上に凸か下に凸か。

(2) グラフの軸と頂点を求め、グラフを描く。（y軸との交点を記入）

(3) 定義域 $-1 \le x \le 4$ におけるyの最大値と最小値を求める。

(4) 定義域 $0 \le x \le a$ において、$x=0$ でyが最大となるような定数 a の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数のグラフの凸性

2次関数の係数（$x^2$ の係数）が正であれば下に凸、負であれば上に凸です。この場合、$x^2$ の係数は1で正なので、下に凸です。

(2) 軸と頂点の座標

与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 6x + 7 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 7 = (x - 3)^2 - 2$

よって、軸は直線 $x = 3$ であり、頂点は $(3, -2)$ です。

y軸との交点は、$x = 0$ を代入して $y = 0^2 - 6(0) + 7 = 7$ より、$(0, 7)$ です。

グラフについては省略します。

(3) 最大値と最小値

定義域 $-1 \le x \le 4$ におけるyの最大値と最小値を求めます。

頂点のx座標は $x = 3$ であり、これは定義域に含まれます。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 - 6(-1) + 7 = 1 + 6 + 7 = 14$

$x = 3$ のとき、$y = (3)^2 - 6(3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2$ (頂点)

$x = 4$ のとき、$y = (4)^2 - 6(4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1$

よって、$x = -1$ で最大値 14 をとり、$x = 3$ で最小値 -2 をとります。

(4) 定数 a の範囲

定義域 $0 \le x \le a$ において、$x = 0$ でyが最大となる条件を求めます。

グラフの軸は $x = 3$ なので、$0 \le x \le a$ の範囲で、$x=0$ でyが最大となるためには、$a \le 6$ かつ頂点よりも左側になければいけません。

$x=0$のとき$y=7$であり、$y=7$となるのは$x=6$のときなので、$0 < a < 6$ となります。

3. 最終的な答え

(1) イ: 下

(2) ロ: 3, ハ: 3, ニ: -2

(3) ヘ: -1, ト: 14, チ: 3, リ: -2

(4) ヌ: 6