与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -4 & -4 \end{pmatrix}$ を行に関する基本変形を用いて階段行列に変形し、そのランクを求め、正則かどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -4 & -4 \end{pmatrix}$ を行に関する基本変形を用いて階段行列に変形し、そのランクを求め、正則かどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列 $A$ を行に関する基本変形を用いて階段行列に変形します。

具体的には、まず1行目をそのままにして、2行目を1行目の定数倍を足し引きすることで、2行1列目の要素を0にします。

1行目に $\frac{4}{5}$ をかけると $\frac{4}{5} \times 5 = 4$ となるので、2行目に1行目の$\frac{4}{5}$倍を加えます。

つまり、$R_2 \rightarrow R_2 + \frac{4}{5}R_1$という操作を行います。

$\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -4 & -4 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \rightarrow R_2 + \frac{4}{5}R_1} \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -4 + \frac{4}{5} \cdot 5 & -4 + \frac{4}{5} \cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 0 & -4 - \frac{16}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 0 & -\frac{36}{5} \end{pmatrix}$

これで階段行列になりました。

階段行列において、0でない行の数がランクなので、rank $A = 2$ となります。

行列が正則である条件は、行列式が0でないこと、またはランクが行列のサイズと等しいことです。

この行列$A$は2x2の行列であり、ランクが2なので正則です。

もしくは、行列式を計算すると、$(5 \times -4) - (-4 \times -4) = -20 - 16 = -36 \neq 0$となるので正則です。

3. 最終的な答え

階段行列：$\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 0 & -\frac{36}{5} \end{pmatrix}$

rank $A = 2$

$A$は正則である