与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & -1 \\ -2 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

3 & 2 & 4 & 1 \\

1 & 1 & 3 & 2 \\

2 & 2 & 3 & -1 \\

-2 & 1 & -2 & 1

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて計算を簡略化します。具体的には、第1列を使って、2行目、3行目、4行目の第1成分を0にします。

1. 2行目を「2行目 - (1/3) * 1行目」で置き換えます。

2. 3行目を「3行目 - (2/3) * 1行目」で置き換えます。

3. 4行目を「4行目 + (2/3) * 1行目」で置き換えます。

計算後の行列は以下のようになります。

$\begin{pmatrix}

3 & 2 & 4 & 1 \\

0 & 1/3 & 5/3 & 5/3 \\

0 & 2/3 & 1/3 & -5/3 \\

0 & 7/3 & 2/3 & 5/3

\end{pmatrix}$

この行列の行列式は、第1列に関する余因子展開で計算できます。つまり、

$3 \times \begin{vmatrix}

1/3 & 5/3 & 5/3 \\

2/3 & 1/3 & -5/3 \\

7/3 & 2/3 & 5/3

\end{vmatrix}$

次に、3x3行列の行列式を計算します。3x3行列の各成分を3倍すると、

$3 \times (1/3)^3 \times \begin{vmatrix}

1 & 5 & 5 \\

2 & 1 & -5 \\

7 & 2 & 5

\end{vmatrix} = \frac{1}{9} \times \begin{vmatrix}

1 & 5 & 5 \\

2 & 1 & -5 \\

7 & 2 & 5

\end{vmatrix}$

3x3行列の行列式は、以下のように計算できます。

$\begin{vmatrix}

1 & 5 & 5 \\

2 & 1 & -5 \\

7 & 2 & 5

\end{vmatrix} = 1(1*5 - (-5)*2) - 5(2*5 - (-5)*7) + 5(2*2 - 1*7) = 1(5+10) - 5(10+35) + 5(4-7) = 15 - 5(45) + 5(-3) = 15 - 225 - 15 = -225$

よって、4x4行列の行列式は

$\frac{1}{9} \times (-225) = -25$

3. 最終的な答え

-25