与えられた数 $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めます。また、$a^2 - b^2$ の値を求めます。 (3) (2)で求めた $b$ の値を用いて、不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、それらの和が0となるような $p$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数 $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めます。また、$a^2 - b^2$ の値を求めます。

(3) (2)で求めた $b$ の値を用いて、不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、それらの和が0となるような $p$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。分母と分子に $3+2\sqrt{2}$ をかけます。

$$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3+2\sqrt{2}$$

(2) $a = 3+2\sqrt{2}$ の小数部分 $b$ を求めます。

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ なので、$2 < 2\sqrt{2} < 3$。

したがって、$3+2 < 3+2\sqrt{2} < 3+3$ より、$5 < a < 6$ です。

$a$ の整数部分は5なので、$b = a - 5 = 3 + 2\sqrt{2} - 5 = 2\sqrt{2} - 2$。

次に、$a^2 - b^2$ を求めます。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = (3+2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2)(3+2\sqrt{2} - (2\sqrt{2} - 2)) = (1+4\sqrt{2})(5) = 5+20\sqrt{2}$。

(3) $b = 2\sqrt{2} - 2$ のとき、不等式 $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、それらの和が0となるような $p$ の範囲を求めます。

$4b = 8\sqrt{2} - 8$ なので、$p < x < p + 8\sqrt{2} - 8$。

$1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ とすると、$11.2 < 8\sqrt{2} < 12$ なので、 $3.2 < 8\sqrt{2}-8 < 4$ となります。

不等式を満たす整数が3個で、その和が0となるためには、これらの整数は $-1, 0, 1$ である必要があります。したがって、$p < -1$ かつ $1 < p+4b$ である必要があります。

$p < x < p + 4b$ を満たす整数が -1, 0, 1 となるためには、以下の条件が必要です。

$p < -1 \le p+1$ かつ $p+2 < p + 4b$

$p < -1$ かつ $-1 \le p$ は矛盾するため、xは-1, 0, 1という整数値を持ちうるという条件を考慮します。

$p < -1$

$-1 < p + 4b$ => $p > -1-4b = -1 - 4(2\sqrt{2}-2) = -1 -8\sqrt{2} + 8 = 7 - 8\sqrt{2}$

$p < 2 \le p+4b$ かつ $p+4b < 2$ のような状況を排除する必要があります。

よって、$p < x < p + 4b$ に含まれる整数が-1, 0, 1である条件は以下となります。

$p < -1$ かつ $1 < p+4b$

さらに、$p \ge -2$ であってはならないこと、 $2 \ge p+4b$ であってはならないことに注意して、

$-2 < p < -1$ かつ $1 < p + 4(2\sqrt{2}-2) < 2$

$1 < p + 8\sqrt{2} - 8 < 2$

$9 - 8\sqrt{2} < p < 10 - 8\sqrt{2}$

最終的に、$9-8\sqrt{2} < p < -1$ の範囲で、$p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が $-1, 0, 1$ であることを確認します。$9-8\sqrt{2} \approx -2.31$ なので、$p$ は$-2.31 < p < -1$ の範囲となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$、 $a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $9 - 8\sqrt{2} < p < -1$