与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(2 \cdot 2 - 1 \cdot (-3)) - 4(2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) + (-3)(2 \cdot (-3) - 2 \cdot (-1))$

$= 1(4 + 3) - 4(4 + 1) - 3(-6 + 2)$

$= 7 - 20 + 12 = -1$

行列式 $|A| = -1 \neq 0$ なので、逆行列 $A^{-1}$ は存在します。

(2) 余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = (2)(2) - (1)(-3) = 4 + 3 = 7$

$C_{12} = -(2(2) - (1)(-1)) = -(4 + 1) = -5$

$C_{13} = (2)(-3) - (2)(-1) = -6 + 2 = -4$

$C_{21} = -(4(2) - (-3)(-3)) = -(8 - 9) = 1$

$C_{22} = (1)(2) - (-3)(-1) = 2 - 3 = -1$

$C_{23} = -(1(-3) - 4(-1)) = -(-3 + 4) = -1$

$C_{31} = (4)(1) - (-3)(2) = 4 + 6 = 10$

$C_{32} = -(1(1) - (-3)(2)) = -(1 + 6) = -7$

$C_{33} = (1)(2) - (4)(2) = 2 - 8 = -6$

余因子行列 $C$ は

$C = \begin{bmatrix} 7 & -5 & -4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 10 & -7 & -6 \end{bmatrix}$

(3) 余因子行列 $C$ の転置行列 $C^T$ を計算します。

$C^T = \begin{bmatrix} 7 & 1 & 10 \\ -5 & -1 & -7 \\ -4 & -1 & -6 \end{bmatrix}$

(4) 逆行列 $A^{-1}$ を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 7 & 1 & 10 \\ -5 & -1 & -7 \\ -4 & -1 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -1 & -10 \\ 5 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 6 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -7 & -1 & -10 \\ 5 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 6 \end{bmatrix}$