与えられた行列$A$に対して、行に関する基本変形を用いて階段行列に変形し、ランクを求め、正則性を判定する問題です。2つの行列についてそれぞれ答えます。

1. 問題の内容

与えられた行列$A$に対して、行に関する基本変形を用いて階段行列に変形し、ランクを求め、正則性を判定する問題です。2つの行列についてそれぞれ答えます。

2. 解き方の手順

**行列1：**

$A = \begin{pmatrix} -3 & -6 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$

* **ステップ1: 階段行列への変形**

1行目を $-\frac{1}{3}$ 倍すると、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の5倍を引くと、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

* **ステップ2: ランクの計算**

階段行列において、0でない行の数がランクである。

したがって、rank A = 1

* **ステップ3: 正則性の判定**

正方行列$A$が正則であるための必要十分条件は、rank A = Aの列数（または行数）である。

この例では、$A$は2x2の行列であり、rank A = 1であるため、Aは正則ではない。

**行列2：**

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -4 \\ -5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & -5 \end{pmatrix}$

* **ステップ1: 階段行列への変形**

1行目を $\frac{1}{4}$ 倍すると、

$\begin{pmatrix} 1 & 1/4 & -1 \\ -5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & -5 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の5倍を加えると、

$\begin{pmatrix} 1 & 1/4 & -1 \\ 0 & -11/4 & -3 \\ 2 & -1 & -5 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引くと、

$\begin{pmatrix} 1 & 1/4 & -1 \\ 0 & -11/4 & -3 \\ 0 & -3/2 & -3 \end{pmatrix}$

2行目を $-\frac{4}{11}$ 倍すると、

$\begin{pmatrix} 1 & 1/4 & -1 \\ 0 & 1 & 12/11 \\ 0 & -3/2 & -3 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の $\frac{3}{2}$ 倍を加えると、

$\begin{pmatrix} 1 & 1/4 & -1 \\ 0 & 1 & 12/11 \\ 0 & 0 & -15/11 \end{pmatrix}$

3行目を $-\frac{11}{15}$ 倍すると、

$\begin{pmatrix} 1 & 1/4 & -1 \\ 0 & 1 & 12/11 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

* **ステップ2: ランクの計算**

階段行列において、0でない行の数がランクである。

したがって、rank A = 3

* **ステップ3: 正則性の判定**

正方行列$A$が正則であるための必要十分条件は、rank A = Aの列数（または行数）である。

この例では、$A$は3x3の行列であり、rank A = 3であるため、Aは正則である。

3. 最終的な答え

**行列1：**

階段行列: $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

ランク: 1

正則性: 2（ない）

**行列2：**

階段行列: $\begin{pmatrix} 1 & 1/4 & -1 \\ 0 & 1 & 12/11 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ランク: 3

正則性: 1（ある）