3次方程式 $x^3 - 7x^2 + x + 5 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 7x^2 + x + 5 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を使って、与えられた方程式の解を見つけます。

$P(x) = x^3 - 7x^2 + x + 5$ とします。

$P(1) = 1^3 - 7(1^2) + 1 + 5 = 1 - 7 + 1 + 5 = 0$ なので、$x=1$ は解の一つです。

したがって、$x-1$ は $x^3 - 7x^2 + x + 5$ の因数です。

次に、多項式の割り算を行って、$x^3 - 7x^2 + x + 5$ を $x-1$ で割ります。

```

x^2 - 6x - 5

x - 1 | x^3 - 7x^2 + x + 5

x^3 - x^2

------------

-6x^2 + x

-6x^2 + 6x

------------

-5x + 5

-5x + 5

------------

0

```

これにより、$x^3 - 7x^2 + x + 5 = (x-1)(x^2 - 6x - 5)$ となります。

したがって、方程式 $x^3 - 7x^2 + x + 5 = 0$ は $(x-1)(x^2 - 6x - 5) = 0$ と書き換えることができます。

つまり、$x-1 = 0$ または $x^2 - 6x - 5 = 0$ を解けば良いです。

$x-1 = 0$ から、$x = 1$ が得られます。

次に、$x^2 - 6x - 5 = 0$ を解きます。これは二次方程式なので、解の公式を使います。

解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

この場合、$a = 1$, $b = -6$, $c = -5$ なので、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 3 \pm \sqrt{14}$

したがって、$x = 3 + \sqrt{14}$ および $x = 3 - \sqrt{14}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$x = 1, 3 + \sqrt{14}, 3 - \sqrt{14}$