$a = \frac{2}{3+\sqrt{7}}$、$b = \frac{2}{3-\sqrt{7}}$ が与えられたとき、$ab$, $a+b$, $a^2+b^2$, $\frac{b^4+16}{b^4}$, $\frac{b^4-16}{b^4}$ の値を求める。また、$\frac{\text{ア}}{b}=a$となることを利用する。

1. 問題の内容

$a = \frac{2}{3+\sqrt{7}}$、$b = \frac{2}{3-\sqrt{7}}$ が与えられたとき、$ab$, $a+b$, $a^2+b^2$, $\frac{b^4+16}{b^4}$, $\frac{b^4-16}{b^4}$ の値を求める。また、$\frac{\text{ア}}{b}=a$となることを利用する。

2. 解き方の手順

まず、$ab$、$a+b$、$a^2+b^2$を計算する。

$ab = \frac{2}{3+\sqrt{7}} \cdot \frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{4}{9-7} = \frac{4}{2} = 2$

$a+b = \frac{2}{3+\sqrt{7}} + \frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{2(3-\sqrt{7}) + 2(3+\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{6 - 2\sqrt{7} + 6 + 2\sqrt{7}}{9-7} = \frac{12}{2} = 6$

$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 6^2 - 2(2) = 36 - 4 = 32$

$\frac{b}{a} = \frac{\frac{2}{3-\sqrt{7}}}{\frac{2}{3+\sqrt{7}}} = \frac{3+\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} = \frac{(3+\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{9+6\sqrt{7}+7}{9-7} = \frac{16+6\sqrt{7}}{2} = 8+3\sqrt{7}$.

よって、$b = a (8+3\sqrt{7})$.

与えられた条件 $\frac{\text{ア}}{b}=a$より$\frac{2}{b}=a$

$b = a(8+3\sqrt{7})$なので、$b = \frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{9-7} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{2} = 3+\sqrt{7}$

$\frac{2}{b} = \frac{2}{3+\sqrt{7}}=a$であり、$\frac{2}{a} = 3+\sqrt{7}$。

$b = 3+\sqrt{7}$より、$b^2 = (3+\sqrt{7})^2 = 9+6\sqrt{7}+7 = 16+6\sqrt{7}$。

$b^4 = (16+6\sqrt{7})^2 = 256 + 192\sqrt{7} + 36(7) = 256+192\sqrt{7}+252 = 508 + 192\sqrt{7}$。

$\frac{16}{b^4} = \frac{16}{508+192\sqrt{7}} = \frac{16(508-192\sqrt{7})}{(508)^2 - (192)^2 (7)} = \frac{16(508-192\sqrt{7})}{258064 - 258048} = \frac{16(508-192\sqrt{7})}{16} = 508-192\sqrt{7}$.

$b^4+\frac{16}{b^4} = 508 + 192\sqrt{7} + 508 - 192\sqrt{7} = 1016$.

$b^4-\frac{16}{b^4} = 508 + 192\sqrt{7} - (508 - 192\sqrt{7}) = 384\sqrt{7}$.

3. 最終的な答え

$ab = 2$

$a+b = 6$

$a^2+b^2 = 32$

$b^4+\frac{16}{b^4} = 1016$

$b^4-\frac{16}{b^4} = 384\sqrt{7}$