1周720mのサイクリングコースを、よしき君は徒歩で、ひで君は自転車で回る。まず、よしき君が出発し、3分後にひで君が同じ場所から同じ方向へ出発する。よしき君の速さは毎分60m、ひで君の速さは毎分150mである。 (1) よしき君が出発してからの時間を$x$分とし、よしき君とひで君の進んだ距離の差を$y$mとする。よしき君が出発してから、初めてひで君に追い抜かれるまでの$x$と$y$の関係をグラフで表す。 (2) よしき君がひで君に2回目に追い抜かれるのは、よしき君が出発してから何分後か求める。

1. 問題の内容

1周720mのサイクリングコースを、よしき君は徒歩で、ひで君は自転車で回る。まず、よしき君が出発し、3分後にひで君が同じ場所から同じ方向へ出発する。よしき君の速さは毎分60m、ひで君の速さは毎分150mである。

(1) よしき君が出発してからの時間を$x$分とし、よしき君とひで君の進んだ距離の差を$y$mとする。よしき君が出発してから、初めてひで君に追い抜かれるまでの$x$と$y$の関係をグラフで表す。

(2) よしき君がひで君に2回目に追い抜かれるのは、よしき君が出発してから何分後か求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、よしき君が出発してから3分後までは、ひで君はまだ出発していないので、差はよしき君の進んだ距離そのものである。よって、$y = 60x$ (0 ≦ $x$ ≦ 3)。

$x = 3$ のとき、$y = 60 \times 3 = 180$。

3分後から、ひで君が出発するので、ひで君が出発してからの時間 $t$ を使うと、$x = t + 3$。

このときの$y$は、$y = 60x - 150t = 60(t+3) - 150t = 180 - 90t$ ($x \ge 3$)。

よしき君に初めて追い抜かれるのは、$y = 0$となるときなので、$180 - 90t = 0$より、$t = 2$。

よって、$x = t + 3 = 2 + 3 = 5$。

$x$ が3から5までの$y$は、$y = 180 - 90(x - 3) = 180 - 90x + 270 = 450 - 90x$。

$x = 5$のとき$y = 0$。

グラフは、$0 \leqq x \leqq 3$ では $y=60x$ の直線、$3 \leqq x \leqq 5$ では $y = 450 - 90x$ の直線となる。

(2)

よしき君がひで君に追い抜かれるのは、2人の距離の差が0mになるときである。

よしき君が出発してから$x$分後の、よしき君の進んだ距離は $60x$ m。

ひで君は3分後に出発するので、ひで君が進んだ距離は、$150(x-3)$ m ($x \ge 3$)。

2回目に追い抜かれるのは、コースを1周以上して追い抜く場合なので、

$60x - 150(x-3) = 720n$を満たす自然数$n$を探す。

$60x - 150x + 450 = 720n$

$-90x = 720n - 450$

$90x = 450 - 720n$

$x = 5 - 8n$

$x$ は正なので、$5 - 8n > 0$より、$n < 5/8$。$n$は自然数なので、$n$は存在しない。

よしき君とひで君は同じコースを回っているので、$60x - 150(x-3) = 720n$の解は存在しない。

しかし、2回目に追い抜かれる状況を考え直すと、

$150(x-3) - 60x = 720$という状況もありえる。

つまり、ひで君が1周差をつけてよしき君を追い越す場合。

$150x - 450 - 60x = 720$

$90x = 1170$

$x = 13$

2回目に追い越されるのは、よしき君が出発してから13分後である。

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略。$0 \leqq x \leqq 3$ では $y=60x$ の直線、$3 \leqq x \leqq 5$ では $y = 450 - 90x$ の直線。

(2) 13分後