与えられた3次方程式 $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$ の解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、整数の解を探索します。整数解は定数項（ここでは4）の約数である可能性があります。したがって、$\pm1, \pm2, \pm4$ を試してみます。

$x = -1$ の場合:

$(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 - 2 - 1 + 4 = 0$

したがって、$x = -1$ は解の一つです。

次に、因数定理を利用して、$x + 1$ が $x^3 - 2x^2 + x + 4$ の因数であることを利用します。多項式を $x + 1$ で割ります。

```

x^2 - 3x + 4

x + 1 | x^3 - 2x^2 + x + 4

-(x^3 + x^2)

-------------

-3x^2 + x

-(-3x^2 - 3x)

-------------

4x + 4

-(4x + 4)

-------------

0

```

上記の割り算から、$x^3 - 2x^2 + x + 4 = (x + 1)(x^2 - 3x + 4)$ となります。

したがって、残りの解は2次方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ を解くことで得られます。

解の公式を用いて、$x^2 - 3x + 4 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1, b = -3, c = 4$ です。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2}$

$x = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$

したがって、$x = \frac{3 + i\sqrt{7}}{2}$ と $x = \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}$ が残りの解です。

3. 最終的な答え

$x = -1, \frac{3 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}$