2次方程式 $x^2 - ax + 3a - 2 = 0$ の2つの解が整数のとき、整数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - ax + 3a - 2 = 0$ の2つの解が整数のとき、整数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

2つの整数解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = a$

$\alpha\beta = 3a - 2$

これら2つの式から $a$ を消去する。$\alpha + \beta = a$ より $a = \alpha + \beta$ を $\alpha\beta = 3a - 2$ に代入して、

$\alpha\beta = 3(\alpha + \beta) - 2$

$\alpha\beta - 3\alpha - 3\beta + 9 = 7$

$(\alpha - 3)(\beta - 3) = 7$

$\alpha, \beta$ は整数なので、$\alpha - 3$ と $\beta - 3$ も整数である。よって、$(\alpha - 3, \beta - 3)$ の組み合わせとして考えられるのは、 $(1, 7), (7, 1), (-1, -7), (-7, -1)$ の4通り。

* $(\alpha - 3, \beta - 3) = (1, 7)$ のとき、$\alpha = 4, \beta = 10$。よって、$a = \alpha + \beta = 4 + 10 = 14$

* $(\alpha - 3, \beta - 3) = (7, 1)$ のとき、$\alpha = 10, \beta = 4$。よって、$a = \alpha + \beta = 10 + 4 = 14$

* $(\alpha - 3, \beta - 3) = (-1, -7)$ のとき、$\alpha = 2, \beta = -4$。よって、$a = \alpha + \beta = 2 + (-4) = -2$

* $(\alpha - 3, \beta - 3) = (-7, -1)$ のとき、$\alpha = -4, \beta = 2$。よって、$a = \alpha + \beta = -4 + 2 = -2$

3. 最終的な答え

$a = 14, -2$