因数定理を用いて、次の式を因数分解する。 (1) $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 8x - 4$ (2) $x^4 + 4x^3 + x^2 - 4x - 2$

1. 問題の内容

因数定理を用いて、次の式を因数分解する。

(1) $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 8x - 4$

(2) $x^4 + 4x^3 + x^2 - 4x - 2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 8x - 4$ とおく。

$P(1) = 1 - 2 - 3 + 8 - 4 = 0$ より、$P(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つ。

$P(-2) = 16 + 16 - 12 - 16 - 4 = 0$ より、$P(x)$ は $(x+2)$ を因数に持つ。

$P(2) = 16 - 16 - 12 + 16 - 4 = 0$ より、$P(x)$ は $(x-2)$ を因数に持つ。

組み立て除法を2回行うか、または

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 8x - 4 = (x-1)(x+2)(x-2)(x-a)$

の形になることが予想できる。

定数項を比較すると、$(-1)(2)(-2)(-a) = -4$なので、$4a = -4$ より $a = -1$ である。

よって、$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 8x - 4 = (x-1)(x+2)(x-2)(x-1) = (x-1)^2(x+2)(x-2)$

(2)

まず、$Q(x) = x^4 + 4x^3 + x^2 - 4x - 2$ とおく。

$Q(1) = 1 + 4 + 1 - 4 - 2 = 0$ ではない。

$Q(-1) = 1 - 4 + 1 + 4 - 2 = 0$ より、$Q(x)$ は $(x+1)$ を因数に持つ。

組み立て除法を行うと、

\begin{array}{c|ccccc}

-1 & 1 & 4 & 1 & -4 & -2 \\

& & -1 & -3 & 2 & 2 \\

\hline

& 1 & 3 & -2 & -2 & 0 \\

\end{array}

よって、$Q(x) = (x+1)(x^3 + 3x^2 - 2x - 2)$

ここで、$R(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 2$ とおく。

$R(-1) = -1 + 3 + 2 - 2 = 2 \ne 0$

$R(1) = 1 + 3 - 2 - 2 = 0$ より、$R(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つ。

組み立て除法を行うと、

\begin{array}{c|cccc}

1 & 1 & 3 & -2 & -2 \\

& & 1 & 4 & 2 \\

\hline

& 1 & 4 & 2 & 0 \\

\end{array}

よって、$R(x) = (x-1)(x^2 + 4x + 2)$

$x^2 + 4x + 2 = 0$ の解は、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$

よって、$x^2 + 4x + 2 = (x - (-2 + \sqrt{2}))(x - (-2 - \sqrt{2}))$

したがって、$Q(x) = (x+1)(x-1)(x^2 + 4x + 2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)^2(x+2)(x-2)$

(2) $(x+1)(x-1)(x^2 + 4x + 2)$