$\sqrt{n^2+25}$ が整数となるような自然数 $n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{n^2+25}$ が整数となるような自然数 $n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{n^2+25}$ が整数であるとき、$n^2+25$ はある整数の二乗でなければなりません。

そこで、$n^2+25=m^2$ となる整数 $m$ が存在すると仮定します。ここで $m > n$ であることに注意します。

この式を変形すると

$m^2 - n^2 = 25$

となります。左辺を因数分解すると

$(m+n)(m-n) = 25$

$m$ と $n$ は自然数なので、$m+n$ と $m-n$ も整数です。また、$m+n > 0$ であるため、$m-n > 0$ である必要があります。

25 の約数の組み合わせを考えると、以下の3つのケースが考えられます。

* ケース1: $m+n=25$ かつ $m-n=1$

* ケース2: $m+n=5$ かつ $m-n=5$

* ケース3: $m+n=1$ かつ $m-n=25$ (これは $m+n>m-n$ に反するため不適)

ケース1の場合、2つの式を足し合わせると $2m = 26$ となり、$m=13$ が得られます。このとき、$n = 25-13 = 12$ となります。

ケース2の場合、2つの式を足し合わせると $2m = 10$ となり、$m=5$ が得られます。このとき、$n = 5-5 = 0$ となります。しかし、$n$は自然数であるため、$n=0$ は不適です。

したがって、$n=12$ のみが条件を満たす自然数となります。

3. 最終的な答え

12