与えられた行列 $A$ の階数 (rank) を求める問題です。 $A = \begin{bmatrix} 8 & -4 & -3 & 5 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ -5 & 4 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数 (rank) を求める問題です。

$A = \begin{bmatrix} 8 & -4 & -3 & 5 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ -5 & 4 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数は、その行列の線形独立な行（または列）の最大数です。与えられた行列の階数を求めるには、行基本変形（掃き出し法）を用いて行列を簡約化し、ゼロでない行の数を数えます。

まず、与えられた行列 $A$ を書きます。

$A = \begin{bmatrix} 8 & -4 & -3 & 5 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ -5 & 4 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

1行目を8で割って、1行1列目の要素を1にします。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -3/8 & 5/8 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ -5 & 4 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引き、3行目に1行目の5倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -3/8 & 5/8 \\ 0 & 3/2 & -7/8 & 9/8 \\ 0 & 3/2 & -7/8 & 9/8 \end{bmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -3/8 & 5/8 \\ 0 & 3/2 & -7/8 & 9/8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2行目を2/3倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -3/8 & 5/8 \\ 0 & 1 & -7/12 & 3/4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目に2行目の1/2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -13/48 & 13/16 \\ 0 & 1 & -7/12 & 3/4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

簡約化された行列は、ゼロでない行が2つあります。したがって、行列の階数は2です。

3. 最終的な答え

行列 $A$ の階数は 2 です。