与えられた4元連立一次方程式の解を、任意の実数定数$\alpha, \beta$を用いて表す問題です。具体的には、$x, y, z, w$を$\alpha, \beta$の式で表し、そのうち$x, z$の式を完成させる必要があります。

1. 問題の内容

与えられた4元連立一次方程式の解を、任意の実数定数$\alpha, \beta$を用いて表す問題です。具体的には、$x, y, z, w$を$\alpha, \beta$の式で表し、そのうち$x, z$の式を完成させる必要があります。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式は以下の通りです。

\begin{align*}

2x - y + z - 2w &= -1 \\

4x - 2y + 3z - 2w &= 0 \\

-6x + 3y - z + 10w &= 7 \\

-8x + 4y - 2z + 12w &= 8

\end{align*}

また、$y = 2\alpha$, $w = \beta$ が与えられています。これらの情報を使って、$x$と$z$を求めます。

まず、$y = 2\alpha$と$w = \beta$を連立一次方程式に代入して、$x$と$z$に関する連立方程式を新たに作ります。

(1)式に代入すると、

$2x - 2\alpha + z - 2\beta = -1$

$2x + z = 2\alpha + 2\beta - 1$

(2)式に代入すると、

$4x - 4\alpha + 3z - 2\beta = 0$

$4x + 3z = 4\alpha + 2\beta$

(3)式に代入すると、

$-6x + 6\alpha - z + 10\beta = 7$

$-6x - z = 7 - 6\alpha - 10\beta$

$6x + z = 6\alpha + 10\beta - 7$

(4)式に代入すると、

$-8x + 8\alpha - 2z + 12\beta = 8$

$-8x - 2z = 8 - 8\alpha - 12\beta$

$4x + z = -4 + 4\alpha + 6\beta$

ここで、

$2x + z = 2\alpha + 2\beta - 1$ (5)

$4x + 3z = 4\alpha + 2\beta$ (6)

$6x + z = 6\alpha + 10\beta - 7$ (7)

$4x + z = 4\alpha + 6\beta - 4$ (8)

(8) - (5) より,

$2x = 2\alpha + 4\beta - 3$

$x = \alpha + 2\beta - \frac{3}{2}$

これを(5)に代入すると、

$2(\alpha + 2\beta - \frac{3}{2}) + z = 2\alpha + 2\beta - 1$

$2\alpha + 4\beta - 3 + z = 2\alpha + 2\beta - 1$

$z = -2\beta + 2$

$z = 2 - 2\beta$

3. 最終的な答え

$x = \alpha + 2\beta - \frac{3}{2}$

$z = 2 - 2\beta$

したがって、

ア: 1

イ: 2

ウ: 3

エ: 2

オ: 2

カ: 2