関数 $f(x) = x^2 - 2kx + \frac{1}{2}$ について、次の問いに答える問題です。ただし、$k \geq 0$ とします。 (1) 定義域が $0 \leq x \leq 1$ である2次関数 $y = f(x)$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ を $k$ を用いて表します。 (2) $0 \leq x \leq 1$ であるすべての $x$ について $0 \leq f(x) \leq 1$ が成り立つような $k$ の値の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2kx + \frac{1}{2}$ について、次の問いに答える問題です。ただし、$k \geq 0$ とします。

(1) 定義域が $0 \leq x \leq 1$ である2次関数 $y = f(x)$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ を $k$ を用いて表します。

(2) $0 \leq x \leq 1$ であるすべての $x$ について $0 \leq f(x) \leq 1$ が成り立つような $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2kx + \frac{1}{2} = (x - k)^2 - k^2 + \frac{1}{2}$

軸は $x = k$ です。定義域は $0 \leq x \leq 1$ なので、軸の位置によって場合分けをします。

(i) $0 \leq k \leq 1$ のとき、最小値は $m = f(k) = -k^2 + \frac{1}{2}$

(ii) $k < 0$ のとき、最小値は $m = f(0) = \frac{1}{2}$ (ただし、$k \geq 0$ よりこれはありえない)

(iii) $k > 1$ のとき、最小値は $m = f(1) = 1 - 2k + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - 2k$

したがって、

$0 \leq k \leq 1$ のとき、 $m = -k^2 + \frac{1}{2}$

$k > 1$ のとき、 $m = \frac{3}{2} - 2k$

(2) $0 \leq x \leq 1$ のすべての $x$ に対して $0 \leq f(x) \leq 1$ が成り立つ条件を求めます。

(i) $0 \leq k \leq 1$ のとき

$m = -k^2 + \frac{1}{2}$ であり、$0 \leq m \leq 1$ より、$0 \leq -k^2 + \frac{1}{2} \leq 1$ となります。

$0 \leq -k^2 + \frac{1}{2}$ より、$k^2 \leq \frac{1}{2}$ つまり $-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq k \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$-k^2 + \frac{1}{2} \leq 1$ より、$k^2 \geq -\frac{1}{2}$ (これは常に成り立つ)

また、定義域から $0 \leq k \leq 1$ であるので、$0 \leq k \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ が得られます。

次に、最大値を考えます。最大値は $f(0) = \frac{1}{2}$ または $f(1) = \frac{3}{2} - 2k$ となります。

$f(0) = \frac{1}{2} \leq 1$ は常に成り立ちます。

$f(1) = \frac{3}{2} - 2k \leq 1$ より、$2k \geq \frac{1}{2}$ つまり $k \geq \frac{1}{4}$

したがって、$\frac{1}{4} \leq k \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ が得られます。

(ii) $k > 1$ のとき

$m = \frac{3}{2} - 2k$ であり、$0 \leq m \leq 1$ より、$0 \leq \frac{3}{2} - 2k \leq 1$ となります。

$0 \leq \frac{3}{2} - 2k$ より、$2k \leq \frac{3}{2}$ つまり $k \leq \frac{3}{4}$

$\frac{3}{2} - 2k \leq 1$ より、$2k \geq \frac{1}{2}$ つまり $k \geq \frac{1}{4}$

したがって、$\frac{1}{4} \leq k \leq \frac{3}{4}$ となりますが、$k > 1$ と矛盾します。よって、この場合は起こりません。

次に、最大値を考えます。最大値は $f(0) = \frac{1}{2}$ です。これは常に $f(0) \leq 1$ を満たします。また、$f(1) = \frac{3}{2} - 2k$ です。$k > 1$ より、$f(1) < \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2} < 0$ なので、$0 \leq f(x) \leq 1$ を満たしません。

以上より、$\frac{1}{4} \leq k \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

(1)

$0 \leq k \leq 1$ のとき、$m = -k^2 + \frac{1}{2}$

$k > 1$ のとき、$m = \frac{3}{2} - 2k$

(2)

$\frac{1}{4} \leq k \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$