与えられた行列 $A$ を行の基本変形によって階段行列にし、階数 (rank) を求める問題です。 $A = \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ を行の基本変形によって階段行列にし、階数 (rank) を求める問題です。

$A = \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ を階段行列に変形します。

ステップ1: 1行目に $-1$ をかけます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

ステップ2: 2行目、3行目、4行目に1行目を足します。5行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

ステップ3: 2行目を $1/2$ 倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

ステップ4: 3行目、4行目から2行目の2倍を引きます。5行目に2行目を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

ステップ5: 3行目を $1/2$ 倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

ステップ6: 4行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

ステップ7: 4行目を $1/2$ 倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

ステップ8: 5行目に4行目の2倍を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

この階段行列には 0 でない行が 4 つあります。したがって、行列 $A$ の階数は 4 です。

3. 最終的な答え

4