与えられた連立一次方程式が非自明解を持つような $t$ の値をすべて求める問題です。連立方程式は次のとおりです。 $tx - y + 3z = 0$ $x + y + tz = 0$ $x - ty + z = 0$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式が非自明解を持つような $t$ の値をすべて求める問題です。連立方程式は次のとおりです。

$tx - y + 3z = 0$

$x + y + tz = 0$

$x - ty + z = 0$

2. 解き方の手順

連立一次方程式が非自明解を持つためには、係数行列の行列式が0でなければなりません。係数行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} t & -1 & 3 \\ 1 & 1 & t \\ 1 & -t & 1 \end{pmatrix}$

この行列の行列式を計算します。

$det = t \begin{vmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & t \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -t \end{vmatrix}$

$= t(1 - (-t^2)) + (1 - t) + 3(-t - 1)$

$= t(1 + t^2) + 1 - t - 3t - 3$

$= t + t^3 + 1 - 4t - 3$

$= t^3 - 3t - 2$

非自明解を持つためには、$det = 0$ である必要があります。したがって、

$t^3 - 3t - 2 = 0$

この3次方程式を解きます。$t = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$

となるので、$t = -1$ は解の一つです。したがって、$t + 1$ は $t^3 - 3t - 2$ の因数です。多項式除算を行うと、

$t^3 - 3t - 2 = (t + 1)(t^2 - t - 2)$

さらに、$t^2 - t - 2$ を因数分解すると、

$t^2 - t - 2 = (t + 1)(t - 2)$

したがって、

$t^3 - 3t - 2 = (t + 1)^2 (t - 2) = 0$

よって、$t = -1, 2$ が解となります。

3. 最終的な答え

$t = -1, 2$ であり、$t$ の小さい順に並べると、$t = -1, 2$ となります。

アイ: -1

ウエ: 2