与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $X$ を求める問題です。逆行列は $X = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} イ & ウ & エオ \\ カキ & ク & ケ \\ コ & サシ & スセ \end{bmatrix}$ の形で与えられています。ここで $|A|$ は行列 $A$ の行列式を表します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $X$ を求める問題です。逆行列は $X = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} イ & ウ & エオ \\ カキ & ク & ケ \\ コ & サシ & スセ \end{bmatrix}$ の形で与えられています。ここで $|A|$ は行列 $A$ の行列式を表します。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - 2(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 0) + 2(2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1(1+1) - 2(2) + 2(2) = 2 - 4 + 4 = 2$

したがって、$|A| = 2$ です。すなわち、$ア = 2$。

次に、余因子行列を計算します。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 2) = 0$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 2 = -4$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 4) = 5$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 4 = -3$

余因子行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -4 & 5 & -3 \end{bmatrix}$

転置すると、次のようになります。

$\begin{bmatrix} 2 & 0 & -4 \\ -2 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & -3 \end{bmatrix}$

したがって、$X = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 & -4 \\ -2 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & -3 \end{bmatrix}$ となります。

これにより、次のようになります。

$イ = 2, ウ = 0, エオ = -4$

$カキ = -2, ク = 1, ケ = 5$

$コ = 2, サシ = -1, スセ = -3$

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 2

ウ = 0

エオ = -4

カキ = -2

ク = 1

ケ = 5

コ = 2

サシ = -1

スセ = -3