与えられた二つの連立方程式を拡大係数行列を使って解く問題です。 (1) $x + y = 4$ $3x - 2y = 5$ (2) $9x + 9y - 8z = 3$ $12x + 11y - 13z = -5$ $60x + 63y - 46z = 48$

1. 問題の内容

与えられた二つの連立方程式を拡大係数行列を使って解く問題です。

(1)

$x + y = 4$

$3x - 2y = 5$

(2)

$9x + 9y - 8z = 3$

$12x + 11y - 13z = -5$

$60x + 63y - 46z = 48$

2. 解き方の手順

(1) の連立方程式を解きます。

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}$

次に、行基本変形を行います。

2行目から1行目の3倍を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$)。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & -7 \end{bmatrix}$

2行目を-5で割ります ($R_2 \rightarrow -\frac{1}{5} R_2$)。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{7}{5} \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引きます ($R_1 \rightarrow R_1 - R_2$)。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & \frac{7}{5} \end{bmatrix}$

したがって、$x = \frac{13}{5}$、$y = \frac{7}{5}$です。

(2) の連立方程式を解きます。

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 9 & 9 & -8 & 3 \\ 12 & 11 & -13 & -5 \\ 60 & 63 & -46 & 48 \end{bmatrix}$

1行目を3で割ります ($R_1 \rightarrow \frac{1}{3} R_1$)。

$\begin{bmatrix} 3 & 3 & -\frac{8}{3} & 1 \\ 12 & 11 & -13 & -5 \\ 60 & 63 & -46 & 48 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の4倍を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - 4R_1$)。

3行目から1行目の20倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 20R_1$)。

$\begin{bmatrix} 3 & 3 & -\frac{8}{3} & 1 \\ 0 & -1 & -\frac{7}{3} & -9 \\ 0 & 3 & -\frac{22}{3} & 28 \end{bmatrix}$

2行目に-1をかけます ($R_2 \rightarrow -R_2$)。

$\begin{bmatrix} 3 & 3 & -\frac{8}{3} & 1 \\ 0 & 1 & \frac{7}{3} & 9 \\ 0 & 3 & -\frac{22}{3} & 28 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の3倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$)。

$\begin{bmatrix} 3 & 3 & -\frac{8}{3} & 1 \\ 0 & 1 & \frac{7}{3} & 9 \\ 0 & 0 & -\frac{43}{3} & 1 \end{bmatrix}$

3行目に $-\frac{3}{43}$をかけます ($R_3 \rightarrow -\frac{3}{43} R_3$)。

$\begin{bmatrix} 3 & 3 & -\frac{8}{3} & 1 \\ 0 & 1 & \frac{7}{3} & 9 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{43} \end{bmatrix}$

2行目から3行目の$\frac{7}{3}$倍を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - \frac{7}{3} R_3$)。

1行目から3行目の$-\frac{8}{3}$倍を引きます ($R_1 \rightarrow R_1 + \frac{8}{3} R_3$)。

$\begin{bmatrix} 3 & 3 & 0 & \frac{57}{43} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{406}{43} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{43} \end{bmatrix}$

1行目から2行目の3倍を引きます ($R_1 \rightarrow R_1 - 3R_2$)。

$\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & -\frac{1151}{43} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{406}{43} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{43} \end{bmatrix}$

1行目を3で割ります ($R_1 \rightarrow \frac{1}{3} R_1$)。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1151}{129} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{406}{43} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{43} \end{bmatrix}$

したがって、$x = -\frac{1151}{129}$、$y = \frac{406}{43}$、$z = -\frac{3}{43}$です。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{13}{5}, y = \frac{7}{5}$

(2) $x = -\frac{1151}{129}, y = \frac{406}{43}, z = -\frac{3}{43}$