与えられた式 $\sqrt{10 - 2\sqrt{10} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{6}}$ を計算し、簡略化してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{10 - 2\sqrt{10} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{6}}$ を計算し、簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を整理します。

$10 - 2\sqrt{10} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{6} = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\sqrt{3}$

これは、 $(\sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{3})^2$ と似ています。確認のために展開してみましょう。

$(\sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{5})(-\sqrt{2}) + 2(\sqrt{5})(-\sqrt{3}) + 2(-\sqrt{2})(-\sqrt{3})$

$= 5 + 2 + 3 - 2\sqrt{10} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{6} = 10 - 2\sqrt{10} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{6}$

したがって、$\sqrt{10 - 2\sqrt{10} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{3}|$

ここで、$\sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt{3} \approx 1.732$ より $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1.414 + 1.732 = 3.146$

よって、$\sqrt{5} - (\sqrt{2} + \sqrt{3}) < 0$ であるため、

$|\sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{3}| = -(\sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{3}) = \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}$