与えられた連立方程式を拡大係数行列を用いて解く問題です。 (1) $x + y = 4$ $3x - 2y = 5$ (2) $9x + 9y - 8z = 3$ $12x + 11y - 13z = -5$ $60x + 63y - 46z = 48$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を拡大係数行列を用いて解く問題です。

(1)

$x + y = 4$

$3x - 2y = 5$

(2)

$9x + 9y - 8z = 3$

$12x + 11y - 13z = -5$

$60x + 63y - 46z = 48$

2. 解き方の手順

(1) の解き方:

まず、連立方程式を拡大係数行列で表現します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}$

次に、行基本変形を用いて、行列を簡約化します。

1. 2行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & -7 \end{bmatrix}$

2. 2行目を -5 で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 7/5 \end{bmatrix}$

3. 1行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 13/5 \\ 0 & 1 & 7/5 \end{bmatrix}$

したがって、$x = 13/5$、$y = 7/5$ となります。

(2) の解き方:

まず、連立方程式を拡大係数行列で表現します。

$\begin{bmatrix} 9 & 9 & -8 & 3 \\ 12 & 11 & -13 & -5 \\ 60 & 63 & -46 & 48 \end{bmatrix}$

次に、行基本変形を用いて、行列を簡約化します。

1. 1行目を 9 で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -8/9 & 1/3 \\ 12 & 11 & -13 & -5 \\ 60 & 63 & -46 & 48 \end{bmatrix}$

2. 2行目から1行目の12倍を引きます。

3. 3行目から1行目の60倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -8/9 & 1/3 \\ 0 & -1 & -47/9 & -7 \\ 0 & 3 & 62/9 & 28 \end{bmatrix}$

4. 2行目に -1 をかけます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -8/9 & 1/3 \\ 0 & 1 & 47/9 & 7 \\ 0 & 3 & 62/9 & 28 \end{bmatrix}$

5. 1行目から2行目を引きます。

6. 3行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -55/9 & -20/3 \\ 0 & 1 & 47/9 & 7 \\ 0 & 0 & -79/9 & 7 \end{bmatrix}$

7. 3行目に -9/79 をかけます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -55/9 & -20/3 \\ 0 & 1 & 47/9 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & -63/79 \end{bmatrix}$

8. 1行目に3行目の55/9倍を加えます。

9. 2行目から3行目の47/9倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -20/3 + (55/9)(-63/79) \\ 0 & 1 & 0 & 7 - (47/9)(-63/79) \\ 0 & 0 & 1 & -63/79 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & (-5260-3465)/711 \\ 0 & 1 & 0 & (4911 + 2961)/711 \\ 0 & 0 & 1 & -63/79 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -8725/711 \\ 0 & 1 & 0 & 7872/711 \\ 0 & 0 & 1 & -63/79 \end{bmatrix}$

$x = -8725/711$, $y = 7872/711$, $z = -63/79$

3. 最終的な答え

(1) $x = 13/5$, $y = 7/5$

(2) $x = -8725/711$, $y = 7872/711$, $z = -63/79$