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与えられた連立方程式を拡大係数行列を用いて解く問題です。連立方程式は以下の二つです。 (1) $ \begin{cases} x + y = 4 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} 9x + 9y - 8z = 3 \\ 12x + 11y - 13z = -5 \\ 60x + 63y - 46z = 48 \end{cases} $

代数学連立方程式拡大係数行列線形代数
2025/6/14

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を拡大係数行列を用いて解く問題です。連立方程式は以下の二つです。
(1)
\begin{cases}
x + y = 4 \\
3x - 2y = 5
\end{cases}
(2)
\begin{cases}
9x + 9y - 8z = 3 \\
12x + 11y - 13z = -5 \\
60x + 63y - 46z = 48
\end{cases}

2. 解き方の手順

(1) の連立方程式
拡大係数行列は
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 4 \\
3 & -2 & 5
\end{bmatrix}
1行目を-3倍して2行目に加えます。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 4 \\
0 & -5 & -7
\end{bmatrix}
2行目を-1/5倍します。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 7/5
\end{bmatrix}
2行目を-1倍して1行目に加えます。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 13/5 \\
0 & 1 & 7/5
\end{bmatrix}
よって、x=13/5,y=7/5x = 13/5, y = 7/5です。
(2) の連立方程式
拡大係数行列は
\begin{bmatrix}
9 & 9 & -8 & 3 \\
12 & 11 & -13 & -5 \\
60 & 63 & -46 & 48
\end{bmatrix}
簡約化します。まず、1行目を1/9倍します。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -8/9 & 1/3 \\
12 & 11 & -13 & -5 \\
60 & 63 & -46 & 48
\end{bmatrix}
1行目を-12倍して2行目に加え、-60倍して3行目に加えます。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -8/9 & 1/3 \\
0 & -1 & -47/9 & -9 \\
0 & 3 & 94/9 & 28
\end{bmatrix}
2行目を-1倍します。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -8/9 & 1/3 \\
0 & 1 & 47/9 & 9 \\
0 & 3 & 94/9 & 28
\end{bmatrix}
2行目を-1倍して1行目に加え、-3倍して3行目に加えます。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -55/9 & -26/3 \\
0 & 1 & 47/9 & 9 \\
0 & 0 & -41/9 & 1
\end{bmatrix}
3行目を-9/41倍します。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -55/9 & -26/3 \\
0 & 1 & 47/9 & 9 \\
0 & 0 & 1 & -9/41
\end{bmatrix}
3行目を55/9倍して1行目に加え、-47/9倍して2行目に加えます。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -26/3 - (55/9)(9/41) \\
0 & 1 & 0 & 9 - (47/9)(9/41) \\
0 & 0 & 1 & -9/41
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -26/3 - 55/41 \\
0 & 1 & 0 & 9 - 47/41 \\
0 & 0 & 1 & -9/41
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & (-26*41 - 55*3) / (3*41) \\
0 & 1 & 0 & (9*41 - 47) / 41 \\
0 & 0 & 1 & -9/41
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & (-1066 - 165) / 123 \\
0 & 1 & 0 & (369 - 47) / 41 \\
0 & 0 & 1 & -9/41
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -1231/123 \\
0 & 1 & 0 & 322/41 \\
0 & 0 & 1 & -9/41
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -1231/123 \\
0 & 1 & 0 & 322/41 \\
0 & 0 & 1 & -9/41
\end{bmatrix}
よって、x=−1231/123x = -1231/123, y=322/41y = 322/41, z=−9/41z = -9/41です。

3. 最終的な答え

(1) x=135,y=75x = \frac{13}{5}, y = \frac{7}{5}
(2) x=−1231123,y=32241,z=−941x = -\frac{1231}{123}, y = \frac{322}{41}, z = -\frac{9}{41}

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