$0 < a < b$ かつ $a+b=2$ のとき、$1$, $a$, $b$, $ab$, $\frac{a^2+b^2}{2}$ を小さい順に並べる問題です。

1. 問題の内容

$0 < a < b$ かつ $a+b=2$ のとき、$1$, $a$, $b$, $ab$, $\frac{a^2+b^2}{2}$ を小さい順に並べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、$0 < a < b$ かつ $a+b=2$ という条件から、$a$ と $b$ の範囲を絞り込みます。

$a+b=2$ より、$b = 2-a$ です。

$0 < a < b$ に代入すると、$0 < a < 2-a$ となります。

この不等式を解くと、$0 < a$ かつ $2a < 2$、つまり $0 < a < 1$ です。

したがって、$1 < b < 2$ です。

次に、$a$, $b$, $ab$, $\frac{a^2+b^2}{2}$ の大小関係を調べます。

* $0 < a < 1$ より、$a < 1$ です。

* $1 < b < 2$ より、$1 < b$ です。

* $ab$ と $1$ の比較：

$a+b=2$ より、$b=2-a$ なので、$ab = a(2-a) = 2a - a^2$ です。

$ab - 1 = 2a - a^2 - 1 = -(a^2 - 2a + 1) = -(a-1)^2$ です。

$0 < a < 1$ より、$a \neq 1$ なので、$(a-1)^2 > 0$ です。

したがって、$ab - 1 = -(a-1)^2 < 0$ なので、$ab < 1$ です。

* $\frac{a^2+b^2}{2}$ と $1$ の比較：

$a+b=2$ より、$b = 2-a$ なので、

$\frac{a^2+b^2}{2} = \frac{a^2 + (2-a)^2}{2} = \frac{a^2 + 4 - 4a + a^2}{2} = \frac{2a^2 - 4a + 4}{2} = a^2 - 2a + 2$ です。

$\frac{a^2+b^2}{2} - 1 = a^2 - 2a + 2 - 1 = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$ です。

$0 < a < 1$ より、$a \neq 1$ なので、$(a-1)^2 > 0$ です。

したがって、$\frac{a^2+b^2}{2} - 1 = (a-1)^2 > 0$ なので、$\frac{a^2+b^2}{2} > 1$ です。

以上より、$a < ab < 1 < \frac{a^2+b^2}{2} < b$ であることがわかります。

特に $0 < a < 1$なので$a<ab$を証明する。

$ab - a = a(b-1)$

$1 < b < 2$なので、$b-1>0$である。

$0 < a$なので、$a(b-1)>0$となり、$a < ab$が示せた。

3. 最終的な答え

$a, ab, 1, \frac{a^2+b^2}{2}, b$