以下の連立方程式が解 $x, y$ を持つように、$k$の値を定める問題です。 $ \begin{cases} 2x + 3(k+1)y = 8 \\ (k+2)x + 7y = 3(k+1) \\ x + 4ky = 7 \end{cases} $

1. 問題の内容

以下の連立方程式が解 $x, y$ を持つように、$k$の値を定める問題です。

$\begin{cases} 2x + 3(k+1)y = 8 \\ (k+2)x + 7y = 3(k+1) \\ x + 4ky = 7 \end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、第3式から $x$ を求めます。

$x = 7 - 4ky$

この $x$ を第1式と第2式に代入します。

第1式に代入すると、

$2(7-4ky) + 3(k+1)y = 8$

$14 - 8ky + 3ky + 3y = 8$

$(-5k + 3)y = -6$

$y = \frac{-6}{-5k+3} = \frac{6}{5k-3}$

第2式に代入すると、

$(k+2)(7-4ky) + 7y = 3(k+1)$

$7(k+2) - 4k(k+2)y + 7y = 3k + 3$

$7k+14 - 4k^2y - 8ky + 7y = 3k + 3$

$(-4k^2 - 8k + 7)y = -4k - 11$

$y = \frac{-4k-11}{-4k^2 - 8k + 7} = \frac{4k+11}{4k^2+8k-7}$

2つの $y$ の式が等しいので、

$\frac{6}{5k-3} = \frac{4k+11}{4k^2+8k-7}$

$6(4k^2 + 8k - 7) = (4k+11)(5k-3)$

$24k^2 + 48k - 42 = 20k^2 + 55k - 12k - 33$

$24k^2 + 48k - 42 = 20k^2 + 43k - 33$

$4k^2 + 5k - 9 = 0$

$(4k+9)(k-1) = 0$

したがって、$k = 1, -\frac{9}{4}$ となります。

$k = 1$ のとき、

$y = \frac{6}{5(1)-3} = \frac{6}{2} = 3$

$x = 7 - 4(1)(3) = 7 - 12 = -5$

$k = -\frac{9}{4}$ のとき、

$y = \frac{6}{5(-\frac{9}{4})-3} = \frac{6}{-\frac{45}{4} - \frac{12}{4}} = \frac{6}{-\frac{57}{4}} = -\frac{24}{57} = -\frac{8}{19}$

$x = 7 - 4(-\frac{9}{4})(-\frac{8}{19}) = 7 - 9(\frac{8}{19}) = 7 - \frac{72}{19} = \frac{133 - 72}{19} = \frac{61}{19}$

3. 最終的な答え

$k = 1, -\frac{9}{4}$