問題は、次の2つの条件を満たす実数 $k$ の値または値の範囲を求めるものです。 (1) 放物線 $y = x^2 - 2x + k - 3$ が $x$ 軸と共有点をもつ。 (2) 放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ と直線 $y = kx - 2$ が接する。

1. 問題の内容

問題は、次の2つの条件を満たす実数 $k$ の値または値の範囲を求めるものです。

(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + k - 3$ が $x$ 軸と共有点をもつ。

(2) 放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ と直線 $y = kx - 2$ が接する。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + k - 3$ が $x$ 軸と共有点をもつ条件は、2次方程式 $x^2 - 2x + k - 3 = 0$ が実数解をもつことです。これは、判別式 $D$ が $D \geq 0$ を満たすことと同値です。

判別式 $D$ は、

$D = (-2)^2 - 4(1)(k - 3) = 4 - 4k + 12 = 16 - 4k$

したがって、$16 - 4k \geq 0$ を解くと、$4k \leq 16$ より、$k \leq 4$ となります。

(2) 放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ と直線 $y = kx - 2$ が接する条件は、2次方程式 $x^2 - 3x + 2 = kx - 2$ が重解をもつことです。これを整理すると、$x^2 - (3+k)x + 4 = 0$ となります。

この2次方程式が重解をもつ条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ を満たすことです。

判別式 $D$ は、

$D = (-(3+k))^2 - 4(1)(4) = (3+k)^2 - 16 = k^2 + 6k + 9 - 16 = k^2 + 6k - 7$

したがって、$k^2 + 6k - 7 = 0$ を解くと、$(k+7)(k-1) = 0$ より、$k = -7, 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $k \leq 4$

(2) $k = -7, 1$