以下の連立方程式が解 $x$, $y$ を持つように、$k$の値を求めよ。 $\begin{cases} 2x+3(k+1)y=8 &(1)\\ (k+2)x+7y=3(k+1) &(2)\\ x+4ky=7 &(3) \end{cases}$

1. 問題の内容

以下の連立方程式が解 $x$, $y$ を持つように、$k$の値を求めよ。

$\begin{cases}

2x+3(k+1)y=8 &(1)\\

(k+2)x+7y=3(k+1) &(2)\\

x+4ky=7 &(3)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、(3)式から $x$ を $y$ の式で表します。

$x = 7 - 4ky$

これを(1)と(2)に代入します。

(1)に代入すると、

$2(7-4ky) + 3(k+1)y = 8$

$14 - 8ky + 3ky + 3y = 8$

$-5ky + 3y = -6$

$y(3 - 5k) = -6$

$y = \frac{-6}{3-5k} = \frac{6}{5k-3}$

(2)に代入すると、

$(k+2)(7-4ky) + 7y = 3(k+1)$

$7k + 14 - 4k^2y - 8ky + 7y = 3k+3$

$-4k^2y - 8ky + 7y = -4k - 11$

$y(-4k^2 - 8k + 7) = -4k - 11$

$y = \frac{-4k-11}{-4k^2-8k+7} = \frac{4k+11}{4k^2+8k-7}$

したがって、

$\frac{6}{5k-3} = \frac{4k+11}{4k^2+8k-7}$

$6(4k^2+8k-7) = (4k+11)(5k-3)$

$24k^2+48k-42 = 20k^2-12k+55k-33$

$4k^2 -4k -9 = 0$

解の公式より、

$k = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(4)(-9)}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{16+144}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

$k = \frac{1 + \sqrt{10}}{2}$, $k = \frac{1 - \sqrt{10}}{2}$