等差数列 $\{a_n\}$ について、第3項が1、初項から第8項までの和が-10である。 (1) $\{a_n\}$ の初項と公差を求める。 (2) $\{a_n\}$ を、第 $k$ 群に $2^{k-1}$ 個の数が入るように群に分ける。 このとき、第8群の最初の数を求める。また、$-5000$ 以下の数が初めて現れるのは第何群か求める。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ について、第3項が1、初項から第8項までの和が-10である。

(1) $\{a_n\}$ の初項と公差を求める。

(2) $\{a_n\}$ を、第 $k$ 群に $2^{k-1}$ 個の数が入るように群に分ける。

このとき、第8群の最初の数を求める。また、$-5000$ 以下の数が初めて現れるのは第何群か求める。

2. 解き方の手順

(1)

$a_n$ の初項を $a$、公差を $d$ とする。

第3項が1であるから、

$a_3 = a + 2d = 1$ ...(1)

初項から第8項までの和が-10であるから、

$S_8 = \frac{8}{2}(2a + 7d) = -10$

$4(2a + 7d) = -10$

$2a + 7d = -\frac{5}{2}$ ...(2)

(1)と(2)を連立して解く。

(2) - (1)×2 より

$3d = -\frac{5}{2} - 2 = -\frac{9}{2}$

$d = -\frac{3}{2}$

(1) より

$a + 2(-\frac{3}{2}) = 1$

$a - 3 = 1$

$a = 4$

したがって、初項は4、公差は$-\frac{3}{2}$である。

(2)

第 $k$ 群には $2^{k-1}$ 個の数が入る。

第7群までの項数は

$2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127$

したがって、第8群の最初の数は $a_{128}$ である。

$a_n = a + (n-1)d$ なので

$a_{128} = 4 + (128-1)(-\frac{3}{2}) = 4 + 127(-\frac{3}{2}) = 4 - \frac{381}{2} = \frac{8 - 381}{2} = -\frac{373}{2} = -186.5$

$a_n = 4 + (n-1)(-\frac{3}{2}) = 4 - \frac{3}{2}n + \frac{3}{2} = \frac{11}{2} - \frac{3}{2}n$

$a_n < -5000$ となる $n$ を求める。

$\frac{11}{2} - \frac{3}{2}n < -5000$

$11 - 3n < -10000$

$-3n < -10011$

$3n > 10011$

$n > \frac{10011}{3} = 3337$

第 $k$ 群までの項数は $\sum_{i=1}^{k} 2^{i-1} = 2^k - 1$

$2^k - 1 \geq 3337$

$2^k \geq 3338$

$k \geq \log_2 3338$

$2^{11} = 2048$, $2^{12} = 4096$ なので $k=12$

したがって、第12群で初めて-5000以下の数となる。

3. 最終的な答え

(1) 初項は 4、公差は $-\frac{3}{2}$ である。

(2) 第8群の最初の数は $-186.5$ である。また、$-5000$ 以下の数が初めて現れるのは第12群である。