問題は等差数列 $\{a_n\}$ に関するものです。 (1) 第3項が1、初項から第8項までの和が-10であるとき、初項と公差を求めます。 (2) 数列 $\{a_n\}$ を第k群に $2^{k-1}$ 個の数が入るように群分けするとき、第8群の最初の数を求め、-5000以下の数が初めて現れるのが第何群かを求めます。

1. 問題の内容

問題は等差数列 $\{a_n\}$ に関するものです。

(1) 第3項が1、初項から第8項までの和が-10であるとき、初項と公差を求めます。

(2) 数列 $\{a_n\}$ を第k群に $2^{k-1}$ 個の数が入るように群分けするとき、第8群の最初の数を求め、-5000以下の数が初めて現れるのが第何群かを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

第3項が1なので、

$a_3 = a + 2d = 1$。

初項から第8項までの和が-10なので、

$S_8 = \frac{8}{2}(2a + 7d) = 4(2a + 7d) = -10$。

したがって、

$2a + 7d = -\frac{5}{2}$。

連立方程式

$a + 2d = 1$

$2a + 7d = -\frac{5}{2}$

を解きます。

1つ目の式を2倍して、

$2a + 4d = 2$

2つ目の式から引くと、

$3d = -\frac{9}{2}$

$d = -\frac{3}{2}$

$a + 2(-\frac{3}{2}) = 1$

$a - 3 = 1$

$a = 4$

(2)

第k群には $2^{k-1}$ 個の数が入るので、第7群までの数の総数は、

$\sum_{k=1}^{7} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127$。

よって、第8群の最初の数は $a_{128}$。

$a_{128} = a + 127d = 4 + 127(-\frac{3}{2}) = 4 - \frac{381}{2} = \frac{8 - 381}{2} = -\frac{373}{2} = -186.5$

次に、-5000以下の数が初めて現れる群を求めます。

$a_n = a + (n-1)d = 4 + (n-1)(-\frac{3}{2}) = 4 - \frac{3}{2}n + \frac{3}{2} = \frac{11}{2} - \frac{3}{2}n \le -5000$

$\frac{11}{2} + 5000 \le \frac{3}{2}n$

$11 + 10000 \le 3n$

$10011 \le 3n$

$n \ge \frac{10011}{3} = 3337$

第k群までの数の総数は、

$\sum_{i=1}^{k} 2^{i-1} = 2^k - 1$。

$2^k - 1 \ge 3337$ となる最小のkを求めます。

$2^k \ge 3338$

$2^{11} = 2048$

$2^{12} = 4096$

したがって、$k = 12$。

3. 最終的な答え

(1) 初項は4、公差は $-\frac{3}{2}$。

(2) 第8群の最初の数は -186.5。-5000以下の数が初めて現れるのは第12群。