第3項が1、初項から第8項までの和が-10である等差数列$\{a_n\}$がある。 (1) 数列$\{a_n\}$の初項と公差を求める。 (2) 数列$\{a_n\}$を、第$k$群に$2^{k-1}$個の数が入るように群に分ける。第8群の最初の数と、-5000以下の数が初めて現れる群を求める。

1. 問題の内容

第3項が1、初項から第8項までの和が-10である等差数列$\{a_n\}$がある。

(1) 数列$\{a_n\}$の初項と公差を求める。

(2) 数列$\{a_n\}$を、第$k$群に$2^{k-1}$個の数が入るように群に分ける。第8群の最初の数と、-5000以下の数が初めて現れる群を求める。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の一般項は$a_n = a + (n-1)d$ (ただし、$a$は初項、$d$は公差)で表される。

第3項が1であることから、

$a_3 = a + 2d = 1$

等差数列の和は$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$ で表される。

初項から第8項までの和が-10であることから、

$S_8 = \frac{8}{2} (2a + 7d) = -10$

$4(2a + 7d) = -10$

$2a + 7d = -\frac{5}{2}$

連立方程式

$a + 2d = 1$

$2a + 7d = -\frac{5}{2}$

を解く。1つ目の式を2倍して$2a + 4d = 2$

2つ目の式から引くと

$3d = -\frac{9}{2}$

$d = -\frac{3}{2}$

$a + 2(-\frac{3}{2}) = 1$

$a - 3 = 1$

$a = 4$

(2)

第$k$群には$2^{k-1}$個の数が入るので、第7群までの項数の合計は、

$\sum_{k=1}^{7} 2^{k-1} = 2^0 + 2^1 + ... + 2^6 = \frac{1(2^7 - 1)}{2-1} = 128 - 1 = 127$

したがって、第8群の最初の項は$a_{128}$である。

$a_{128} = a + 127d = 4 + 127(-\frac{3}{2}) = 4 - \frac{381}{2} = \frac{8 - 381}{2} = -\frac{373}{2} = -186.5$

次に、-5000以下の数が初めて現れる群を求める。

$a_n = 4 + (n-1)(-\frac{3}{2}) < -5000$

$4 - \frac{3}{2}n + \frac{3}{2} < -5000$

$\frac{11}{2} - \frac{3}{2}n < -5000$

$11 - 3n < -10000$

$-3n < -10011$

$3n > 10011$

$n > 3337$

第$k$群までの項数の合計が3337を超える最小の$k$を求める。

$\sum_{i=1}^{k} 2^{i-1} = 2^k - 1 > 3337$

$2^k > 3338$

$2^{11} = 2048$

$2^{12} = 4096$

したがって、$k = 12$

3. 最終的な答え

(1) 初項は4、公差は$-\frac{3}{2}$

(2) 第8群の最初の数は$-\frac{373}{2} = -186.5$、-5000以下の数が初めて現れるのは第12群